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Mathematik » Didaktik der Mathematik » Stetigkeit und Grenzwerte in GeoGebra / Mathematikunterricht
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Autor
Universität/Hochschule J Stetigkeit und Grenzwerte in GeoGebra / Mathematikunterricht
yafoo
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 29.04.2016
Mitteilungen: 192
Aus: NRW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-01-05


Hallo zusammen,

zurzeit schreibe ich an meiner Masterthesis zur Integralrechnung und die fachmathematischen Defizit im Mathematikunterricht G8 in NRW im GK.

Kurz gesagt: Stetigkeit wird den Schülern de facto nicht mehr vermittelt, da der Lehrplan im GK und damit die Schulbücher Stetigkeit nicht mehr thematisieren. Ebenso ist nur noch ein propädeutischer Grenzwertbegriff vorgesehen, sodass hier meist auch ausgeprägte Fehlvorstellungen vorherrschen.

Hierzu die erste Frage an euch: Stetigkeit ist ja für die Newton-Leibniz-Formel ein wesentliche Voraussetzung. Ebenso finden die Beweise in den Schulbüchern indirekt über das Argument der Stetigkeit statt, werden aber nicht so benannt. Habt ihr eine Idee, wie ich in Bezug auf den Hauptsatz ein schlagkräftiges Argument formulieren könnte (außer: "Ohne Stetigkeit, kann gilt die Newton-Leibniz-Formel nicht.")?

Zu GeoGebra: Eine unstetige Funktion darzustellen, ist zwar möglich. Jedoch wird an einigen Stellen dennoch ein Integralwert angegeben. Habt ihr noch Tipps, wie ich die Defizite in GeoGebra umsetzen könnte?

Schonmal vielen Dank!
Beste Grüße,
yafoo



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Kezer
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 04.10.2013
Mitteilungen: 622
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-01-05


Hi,

mir ist leider nicht ganz klar, was deine Frage ist - möchtest du ein Argument für den Hauptsatz ohne Stetigkeit formulieren? Da man die Stetigkeit benötigt, kann das schließlich nicht funktionieren.
Wenn dir die Definition der Stetigkeit fehlt, aber du ein anschauliches Argument formulieren möchtest, dann ist der Standardbeweis eigentlich sehr schön (wie ich finde). Ich glaube, auf dem englischen Wikipedia wird er genau so geführt.  😄

Zur GeoGebra Frage: Das würde ich nicht als "Defizit" bezeichnen - natürlich werden noch Integrale angegeben, schließlich ist das (Riemann-)Integral nicht nur für stetige Funktionen definiert. (Auch den Hauptsatz kann man noch verallgemeinern z.B. mit Lebesgue-Integralen.)


-----------------
The difference between the novice and the master is that the master has failed more times than the novice has tried. ~ Koro-Sensei



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stpolster
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Dabei seit: 27.03.2014
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Aus: Chemnitz
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-01-05


2020-01-05 10:30 - yafoo im Themenstart schreibt:
Stetigkeit wird den Schülern de facto nicht mehr vermittelt, da der Lehrplan im GK und damit die Schulbücher Stetigkeit nicht mehr thematisieren.
Nun gut, das ist NRW. In Sachsen steht der Begriff Stetigkeit auch im GK noch(?) im Lehrplan. Dafür haben wir andere Sachen zusammengestrichen.

Mein Problem ist, dass vor allem junge Lehrer (wird das denen so vermittelt ?) den Lehrplan für ein "göttliches Gesetz" halten, der nicht nur sagt, was man unterrichten muss(!), sondern auch die Vermittlung aller nicht genannten Begriffe verbietet!
Das ist auf keinen Fall so.

Niemand kann einem Mathelehrer verbieten seinen Schülern den Begriff der "Stetigkeit" zu vermitteln. D.h., man macht es einfach; natürlich nicht stundenlang.    
Die Lehrbücher sind die allerletzten Quellen an denen man sich orientieren darf. Die sind ausnahmslos so grottenschlecht, dass ich schon seit Jahren diese kaum noch benutze, höchstens noch für ein paar Aufgaben, die man aber auf jeden Fall durchrechnen muss, da sie oft nicht zum Thema passen, lächerlich sind oder ....

Kritik an den Lehrplänen (bundesweit) ist auf jeden Fall notwendig. Ob man dies an einzelnem Fachbegriffen festmachen kann, bezweifle ich.
Hält man sich strikt an den Lehrplan, entlässt man in der Mehrheit zwar Schüler, die irgendwie das Abitur geschafft haben, aber später an den Unis und Hochschulen ihr blaues Wunder erleben.
Die Lehrpläne sind wieder von Fachleuten zu schreiben. Die "Didaktiker"
sollten sich heraushalten und sich lieber überlegen, wie man didaktisch und methodisch die Vorgaben umsetzt.

LG Steffen

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]



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yafoo
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 29.04.2016
Mitteilungen: 192
Aus: NRW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-05


Danke für eure Antworten!!

@stpolster: Da stimme ich dir auch absolut zu. In NRW ist es mE aber nicht immer - besonders in schwachen Kursen - nicht möglich in der 10 (respektive 11 in G9) auf Grund des eng getakteten Zeitplans nicht immer möglich.
Auch möchte ich das nicht an einzelnen Begriffen festmachen, doch führt es in der Arbeit zu weit, den Lehrplan im gesamten zu untersuchen. Insofern musste ich mich auf einzelne Aspekte fokussieren und da sind für mich vor allem der fehlende Grenzwert- und Stetigkeitsbegriff problematisch.

@Kezer: Sorry, habe mich etwas missverständlich ausgedrückt. Ziel soll es sein, ohne einen formalen Stetigkeitsbegriff den Schülern über ein DGS klar zu machen, dass der Hauptsatz nicht ohne Stetigkeit anwendbar ist.
Mit Defizit meinte ich nicht GeoGebra. GeoGebra macht nichts falsch. Mir fällt nur keine sinnvolle Möglichkeit ein darzustellen, dass der Hauptsatz für unstetige Funktionen nicht anwendbar ist.



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Vercassivelaunos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-01-05

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Hallo yafoo,

das geht zwar leicht an deiner Frage vorbei, ich halte es aber für erwähnenswert: die Newton-Leibniz-Formel setzt keine Stetigkeit der Ableitung voraus, sondern lediglich Riemann-Integrierbarkeit. Und dann ist die Voraussetzung geradezu langweilig: Falls sowohl das Integral, als auch eine Stammfunktion von $f$ existieren, dann lässt sich dass Integral über die Stammfunktion bestimmen. Die Voraussetzung für die Formel ist also lediglich die Existenz der darin vorkommenden Objekte.
Diese deutlich stärkere Variante erfordert einen anderen Beweis, aber wenn du fachlich korrekt vorgehen willst, solltest du in deiner Arbeit nicht behaupten, sie gelte nicht.

Viele Grüße,
Vercassivelaunos
\(\endgroup\)


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goeba
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Aus: Göttingen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-01-06


Sorry, wenn ich Dir da die Suppe versalze.

An der Schule (zumal Gymnasium G8 Grundkurs) hast Du ganz ganz andere Probleme als dass Schüler im Grundkurs (!) den Beweis (!!) des Hauptsatzes nicht verstehen, weil sie Stetigkeit (!!!) nicht behandelt haben.

Ein Axiomatischer Aufbau der Analysis mit strengen Beweisen ist an der Schule nicht möglich. Das fängt schon mit den reellen Zahlen an: Die Schüler wissen nicht (können gar nicht wissen), was das ist. Ohne Vollständigkeitsaxiom keine reellen Zahlen. Ohne reelle Zahlen kein wirklicher Grenzwertbegriff.

Wo willst Du da anfangen?

Schüler können, auch im Grundkurs, durchaus ein Verständnis von Riemannschen Summen bekommen und dann auch selbst herauskriegen, dass das mit Stammfunktionen viel einfacher geht.

Wenn Du es aber streng machen willst, mit Stetigkeit (was, wie auch Vercassivelaunos ja andeutete, nicht mal nötig ist) und allem - was willst Du dafür weglassen? Du könntest zwei Jahre lang in der Oberstufe nur Analysis machen, würdest über Stetigkeit + Grenzwertbegriff vermutlich nicht hinauskommen, und mehr als die Hälfte der Schüler im Grundkurs würden trotzdem nichts kapieren.

Es funktioniert überhaupt gar nicht so, dass man irgendwas "macht" und "die Schüler" es dann können. Ich widerspreche überhaupt nicht, dass man über das, was man macht, und wie man es macht, gerade im Bereich Oberstufenmathematik gut nochmal nachdenken sollte, aber Du schießt, fürchte ich, deutlich übers Ziel hinaus.



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