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Lineare Algebra » Lineare Abbildungen » Warum bedeutet die Gleichung f² = 0, dass Bild(f) ⊆ Kern(f)?
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Universität/Hochschule Warum bedeutet die Gleichung f² = 0, dass Bild(f) ⊆ Kern(f)?
luisamariewen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-01-05


Hallo liebe Mitglieder,

Sei V ein K-Vektorraum der Dimension n. Sei f: V->V ein Endomorphismus mit f^2=0.

Nun habe ich gelesen, dass f^2=0 bedeutet, dass Bild(f) \subsetequal\ Kern(f)

Warum ist das der Fall?

Gruß und vielen Dank im Voraus
Luisa Marie



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xiao_shi_tou_
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-01-05

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2020-01-05 16:33 - luisamariewen im Themenstart schreibt:
Hallo liebe Mitglieder,

Sei V ein K-Vektorraum der Dimension n. Sei f: V->V ein Endomorphismus mit f^2=0.

Nun habe ich gelesen, dass f^2=0 bedeutet, dass Bild(f) \subsetequal\ Kern(f)

Warum ist das der Fall?

Gruß und vielen Dank im Voraus
Luisa Marie
Schau mal hier:


Schreibe alle Definitionen hin die involviert sind. Dann ergibt sich die Lösung von selbst.

Als Tipp:
Du brauchst die folgenden Definitionen:
$\bul$ Definition von $\o{Kern}(f)$
$\bul$ Definition von $\o{Bild}(f)$
$\bul$ Definition von $0\colon V\to V$
$\bul$ Definition von $f^2$ (Verkettung)
$\bul$ Definition von $\sube$




-----------------
”己所不欲,勿施于人“(Konfuzius)
PS: Falls ich plötzlich aufhöre in einem Thread zu antworten, dann kann es sein, dass ich es vergessen habe. Ihr könnt mir in diesem Fall eine Private Nachricht schicken.
\(\endgroup\)


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X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-01-05


Nun fangen wir wie gehabt an, um eine Inklusion zu zeigen:

Sei x $\in Bild(f)$ beliebig. Dann existiert per Definition ein...
jetzt du!

Viele Grüße,
X3nion



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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-01-05


Es kann auch nicht schaden, die naheliegende Verallgemeinerung gleich mit zu beweisen:

Seien $g : U \to V$, $f : V \to W$ linear. Dann gilt

$f \circ g = 0 \iff \mathrm{Bild}(g) \subseteq \mathrm{Kern}(f).$

Und wie schon gesagt, das ergibt sich sofort durch Hinschreiben der Definitionen.



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