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Strukturen und Algebra » Ringe » Besondere Unterringe von kommutativen Ringen
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Universität/Hochschule Besondere Unterringe von kommutativen Ringen
geeert
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-01-05


Guten Abend,

habe eine etwas allgemeine Frage über kommutative Ringe und deren Einheitengruppe: Sei $R$ komm Ring mit Eins und $R^*= \{r \in R \vert \text{ es ex. } s \in R \text{ mit } rs=1_R \}$ die Einheitengruppe.

Sei $W:= \{1_R+ t \vert t \in R\ \text{ nicht-Einheit }\}$ eine "Unterstruktur" von $R$. Ich denke, dass man allgemein nicht erwarten kann, dass $U$ ein  Untermonoid von $(R, \cdot)$ unter Multiplikation auf $R$ ist. Ein Unterring also auch nicht.

Nun frage ich mich ob es eine bestimmte Klasse von Ringen gibt mit der Eigenschaft $W \subset R^*$ als Menge bezüglich Multiplikation. Hier wäre es dann doch ein Untermonoid, sogar eine Untergruppe.

Es gibt sicher Ringe, die das erfüllen (wie $K[[X]]$) und eben nicht ($\mathbb{Z}$ oder $K[X]$). So frage ich mich ob es ein hinreichendes und notweniges Kriterium gibt solche Ringe die diese Eigenschaft haben zu erkennen. Haben sie einen Namen?

Meine Motivation kommt von der bekannten unitären Untergruppe $U:= \{1_R+ t \vert t \text{ nilpotent}\}$. da gilt natürlich $U \subset R^*$, da für $1+t$ ein natürliches $n$ gibt mit $t^n=0$ und daher $(1+t) \cdot \sum_{i=0}^n (-1)^i t^i=1$.



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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-01-05


In Restklasssenringen $\mathbb Z/(p^n)$, $p$ prim, sind die Nichteinheiten gerade die nilpotenten Elemente des Rings. Kannst du damit etwas anfangen?



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geeert
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-05


Das zeigt, dass in Ringen der Form $\mathbb Z/(p^n)$ stets $U= W$ gilt. Also haben Restklassenringe die gewünschte Eigenschaft $W \subset R^*$. Ich hab mich gefragt, ob es die eine gewisse Klasse von Ringen gibt, die $W \subset R^*$ erfüllt. Es sind ja nicht nur Restklassenringe.

Man könnte zunächst nach so einem Kriterium Ausschau halten wie: $R$ erfüllt $W \subset R^*$ g d w alle Nicht-Einheiten von $R$ bereits nilpotent sind.

Aber $K[[X]]$ ist ein Gegenbeispiel dafür.



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xiao_shi_tou_
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-01-05

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Hi.
Für Lokale Ringe (also Ringe mit genau einem maximalen Ideal) gilt es auf jeden Fall.
Sei $R$ ein lokaler Ring mit maximalem Ideal $\mathfrak{m}$.
Es gilt $R=R^\tm\overset{\cdot}{\cup} \mathfrak{m}$. Wenn also $1+m\in W$ dann ist $m\in \mathfrak{m}$, da $m\not\in R^\tm$.
Angenommen $1+m$ ist keine Einheit. Dann gilt $1+m\in \mathfrak{m}$.
Hierraus folgt $1\in\mathfrak{m}$ und daher $\mathfrak{m}=R$, Widerspruch.

$R[\![x]\!]$ ist bekanntlich ein lokaler Ring, wenn $R$ ein lokaler Ring ist. Insbesondere ist $k[\![x]\!]$ ein lokaler Ring, wenn $k$ ein Körper ist.
Desweiteren ist jede Lokalisierung an einem Primideal, wie zum Beispiel
$\Z_{(p)}$ ein Beispiel für einen lokalen Ring.
Die Ringe $\Z/{(p^n)}$ sind auch lokale Ringe mit maximalem Ideal $(p)/{(p^n)}$, fallen also auch in diese Klasse. Ist jeder Ring mit dieser Eigenschaft ein Lokaler Ring? EDIT: Ja.

Allgemeiner, für nicht notwendigerweise lokale (kommutative) Ringe (mit $1$) gilt $R=R^\tm\overset{\cdot}{\cup} \bigcup_{\mathfrak{m}\tx{ist maximales Ideal von}R}\mathfrak{m}$.

Hat der Ring mehrere maximale Ideale, wie zum Beispiel im Fall von $\Z$ dann kann sowas wie mit $\mathfrak{m}_7=(7)\ni1+3\pt 3\in 1+(3)=1+\mathfrak{m}_3$ passieren. $1+3\pt 3\in W$ aber $7$ ist nicht invertierbar.

EDIT:
Es gilt auch die Umkehrung:
Wenn ein Ring $R$ die Eigenschaft $W\sube R^\tm$ erfüllt, dann ist $R$ ein lokaler Ring. Das folgt aus der Aussage:
Aussage
Wenn $\mathfrak{m}$ ein maximales Ideal ist mit der Eigenschaft $1+\mathfrak{m}\sube R^\tm$ dann ist $R$ ein Lokaler Ring.



-----------------
”己所不欲,勿施于人“(Konfuzius)
PS: Falls ich plötzlich aufhöre in einem Thread zu antworten, dann kann es sein, dass ich es vergessen habe. Ihr könnt mir in diesem Fall eine Private Nachricht schicken.
\(\endgroup\)


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geeert
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-05


Ich glaube das ist eine g d w-Aussage: $R$ lokal g d w $W \subset R^*$.

Eine Richtung hast du schon gezeigt. Die andere: Angenommen $R$ erfüllt $W \subset R^*$ und es hat mind $2$ maximaler Ideale $N,M$. Wähle ein $n \in N \backslash M$. $n$ keine Einheit, also für alle $r \in R$ ist $nr$ keine Einheit und somit $1+nr \in R^*$.

Der Jakobsen-Ring  (de.wikipedia.org/wiki/Jacobson-Radikal#Jacobson-Radikal_von_Ringen) ist definiert auf zwei verschiedene Weisen: als Schnitt aller maximalen Ideale oder ${\displaystyle \{x\in R\mid \forall y\in R\colon 1-xy\in R^{\times }\}}$. Dies impliziert, dass $n $ im Jakobsen-Ring liegt, aber $n \not \in M$. Widerspruch zur Wahl von $n$. Ist der Beweis ok? Wenn ja, siehst du eine Möglichkeit einfacher zu argumentieren? Der Jakobsen-Ring als technisches Mittel scheint mir zu umständlich zu sein.


EDIT#1:Cooler wäre sicher wie du schon vermerkt hast direkt zu zeigen, dass wenn $W \subset R^*$, dann $R\backslash R^*$ Ideal, aber das krieg ich jetzt auch nicht hin. Möglicherwiese wird ein Argument in dem Beweis zu den beiden äquivalenten Darstellungen von Jakobsen-Ring präsentiert.


EDIT#2: Ja dann war das doch einfacher als gedacht. Ich danke euch!



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xiao_shi_tou_
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-01-05

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Dein Beweis ist korrekt. Ein schöner Beweis. Nur, dass du das Jacobson-Radikal meinst. Ein Jacobson Ring ist etwas anderes.

2020-01-05 23:17 - geeert in Beitrag No. 4 schreibt:
Cooler wäre sicher wie du schon vermerkt hast direkt zu zeigen, dass wenn $W \subset R^*$, dann $R\backslash R^*$ Ideal, aber das krieg ich jetzt auch nicht hin.

Doch, das geht.
Sei $\mathfrak{m}$ ein Ideal mit $1+\mathfrak{m}\sube R^\tm$.
Dann ist $R\setminus R^\tm=\mathfrak{m}$.
Beweis
Klar ist $\mathfrak{m}\sube R\setminus R^\tm$.
Nur zeigen $x\not\in \mathfrak{m}\implies x\in R^\tm$.
Sei also $x\not \in \mathfrak{m}$. Dann ist $(x)+\mathfrak{m}=R$, also gibt es $r\in R,m\in \mathfrak{m}$ mit $xr+m=1$. Folglich ist $xr=1-m\in 1+\mathfrak{m}$ eine Einheit, also auch $x$.
$\checkmark$

Hierraus folgt direkt die Umkehrung (also Äquivalenz):
Ist $R$ ein Ring mit $W\sube R^\tm$ dann gilt insbesondere $1+\mathfrak{m}\sube R^\tm$ $\forall \mathfrak{m}\in \o{Specmax}(R)$. Also ist $R$ ein Lokaler Ring, da bekanntlich ein Ring lokal ist genau dann wenn $R\setminus R^\tm$ ein Ideal ist.

Du hast also eine Charakterisierung Lokaler Ringe gefunden und wir haben zwei Beweise. Vielleicht meldet sich ja noch jemand mit einem einfacheren Beweis.

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geeert hatte hier bereits selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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