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Funktionentheorie » Holomorphie » Ganze Funktionen
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Universität/Hochschule J Ganze Funktionen
shirox
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-01-05


Guten Abend,

ich weiß bei einer Aufgabe meines Übungsblattes nicht so wirklich weiter.
Die Aufgabe lautet wie folgt:
Bestimmen sie alle ganzen Funktionen der Form f(z)=u(x)+iv(y) wobei z= x+iy und u,v R->R diff'bare Funktionen sind

Ganze Funktionen sind ja Funktionen, welche auf ganz C komplex differenzierbar sind, da wir noch ganz zu Beginn des Themas sind kennen wir als Beispiele für ganze Funktionen nur Polynome und Potenzreihen( muss der Konvergenzradius unendlich oder nur  großer null sein?)

Naja irgendwie hab ich keine Idee wie ich alle bestimmen soll, vielleicht hat jmd ja einen Tipp:)



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-01-05


Rechne zuerst einmal nach, wann eine Funktion dieser Form überhaupt (komplex) differenzierbar ist.

--zippy



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shirox
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-05


Erstmal danke für den Tipp irgendwie habe ich noch mit dem u und v so meine Schwierigkeiten

Also würde ich jetzt die Cauchy-Riemann-Dgln nutzen, dann müsste ja
fed-Code einblenden


aber ich bin mir mit den Konstanten Termen nicht so ganz sicher. Ich versteh das mit den u und v noch nicht so ganz ist u(x)=x hier einfach oder u(x)=ax weil u noch eine Funktion ist die irgendwo hin abbildet, aber dann müssen a und b ja auch keine Funktionen sein
Falls u(x)=x dann gilt das ganze einfach für die Nullfunktion?

 



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-01-05


2020-01-05 21:31 - shirox in Beitrag No. 2 schreibt:
aber ich bin mir mit den Konstanten Termen nicht so ganz sicher.

Zunächst einmal bist du richtigerweise auf $u_x(x)=a$ und $v_y(y)=b$ mit Konstanten $a$ und $b$ gekommen.

Aus $u_x(x)=v_y(y)$ folgt aber auch noch $a=b$.

2020-01-05 21:31 - shirox in Beitrag No. 2 schreibt:
ist u(x)=x hier einfach oder u(x)=ax weil u noch eine Funktion ist die irgendwo hin abbildet

Aus $u_x(x)=a$ folgt durch Integration $u(x)=a\,x+c$ mit einer neuen Konstanten $c$. Analog folgt $v(y)=a\,y+d$.

2020-01-05 21:31 - shirox in Beitrag No. 2 schreibt:
aber dann müssen a und b ja auch keine Funktionen sein

Warum sollten das Funktionen sein? Du hast doch oben selbst von Konstanten gesprochen.

Um die Aufgabe abzuschließen, musst du jetzt nur noch in Worte fassen, was das für Funktionen sind, die die Form$$ f(x+iy) = u(x)+iv(y) = [ax+c]+i[ay+d] = a(x+iy)+(c+id)$$haben.



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shirox
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-05


Vielen Dank, jetzt habe ich einiges mehr verstanden

Aber alle ganzen Funktionen sehen dann so

f(x+iy)=u(x)+iv(y)=[ax+c]+i[ay+d]=a(x+iy)+(c+id)

aus?

Ich weiß nicht genau, hast du das letzte Gleichheitszeichen gemacht, damit es mich an mx+b erinnert also sind es Gerade in C?



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-01-05


2020-01-05 22:03 - shirox in Beitrag No. 4 schreibt:
hast du das letzte Gleichheitszeichen gemacht, damit es mich an mx+b erinnert also sind es Gerade in C?

Ja. Es sind affin-lineare Funktionen $f(z)=a\,z+b$ mit einem reellen $a$.



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shirox
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-05


Super, Vielen Dank!



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