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Differentiation » Mehrdim. Differentialrechnung » Normalvektor in verschiedenen Koordinatensystemen berechnen
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Universität/Hochschule Normalvektor in verschiedenen Koordinatensystemen berechnen
Jocobes
Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 24.10.2019
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-01-08


Hallo ihr lieben Leute!

Ich habe momentan ein bisschen einen Knoten im Kopf was die Verwendung verschiedener Koordinatensystem betrifft. Nehmen wir beispielsweise einen Kreis im Ursprung eines kartesischen Systems.
fed-Code einblenden
In der Parameterdarstellung wird daraus:
fed-Code einblenden
Da hackts dann leider auch schon. Weil angegeben wird das immer als Kreis in Polarkoordinaten, da ich ja Winkel und Radius verwende. Nur geb ich den Kreis formal ja immer noch in karthesischen Koordinaten an. Ich berechne meine x & y-Komponente einfach nur über Radius und Winkel. Aber um einen Punkt im Polarkoordinatensystem anzugeben müsste ich doch etwas bekommen wo die eine Koordinate den Winkel und die andere den Radius beschreibt, oder bin ich da ganz auf dem Holzweg?
fed-Code einblenden

Konkret ging es darum, dass ich versucht habe den Normalvektor der Mantelfläche eines Zylinders (dessen Rotationsachse die y-Achse ist) in R3 im Zylinderkoordinatensystem zu berechnen. Wenn ich den Kreis wieder im karthesischen System angebe aber mit Radius, winkel und einer Länger dann gelingt das auch (hoffe ich zumindest).
fed-Code einblenden
Allerdings habe ich dann eben versucht das ganze Ding wirklich in Zylinderkoordinaten anzugeben und dabei würde ich auf folgendes kommen.
fed-Code einblenden

Wenn ich allerdings die Normalvektoren berechne komme ich da nicht auf die gleichen Ergebnisse. Außerdem hat sich meine Hirn davor schon vier mal verknotet und deshalb würde ich mich sehr freuen wenn meine Denkfehler hier alle aufgezeigt werden.

Danke im Voraus!
Jocobes



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Kampfpudel
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.08.2013
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-01-08


Hey Jocobes,

ich glaube, es liegt gerade an der exakten Benutzung der Definition eines Normalenvektors.

Um einen Normalenvektor an einem Punkt \((x,y,z)\) an einer Oberfläche, die in einer Umgebung um \((x,y,z)\) implizit gegeben ist durch \(g(x,y,z)=0\) zu berechnen, berechnet man den Vektor \(\nabla g(x,y,z)\), wobei \(\nabla=\nabla_{x,y,z}= (\partial_x , \partial_y, \partial_z)\) ist. (In unserem Fall ist \(g(x,y,z)=x^2+z^2 -R^2\), wobei \(R\) der Radius des Zylinders ist.)

Willst du nun den Normalenvektor an der gleichen Stelle mit Zylinderkoordinaten berechnen, also mit der Transformation \((x,y,z)=(r \cos \varphi, y , r \sin \varphi)=: h(r,\varphi, y)\), so kannst du NICHT einfach \(\nabla_{r,\varphi,y}~ g(h(r,\varphi, y)) = \nabla_{r,\varphi,y}~ g(r \cos \varphi,y, r \sin \varphi)\) berechnen, die Transformation rückgängig machen und erwarten, dass in beiden Fällen das selbe rauskommt. Denn dann hast du eben die Kettenregel vergessen!
Wo liegt denn nun der Hund begraben?
Nun, die Definition eines Normalenvektors verlangt, dass man nach genau der Stelle differenzieren muss, an der man sich befindet. Befinden wir uns an der Stelle \((x,y,z)\), so leiten wir auch nach \(x,y\) und \(z\) ab. In Zylinderkoordinaten befinden wir uns NICHT an der Stelle \((r,\varphi, y)\), sondern an der Stelle \((r \cos \varphi , y , r \sin \varphi)=h(r, \varphi ,y)=(x,y,z)\).
Wir müssen also
\(\nabla_{(r \cos \varphi,y, r \sin \varphi)} ~ g(r \cos \varphi,y, r \sin \varphi)\) berechnen.

Vielleicht das ganze noch etwas einfacher hingeschrieben:
Wir setzen \(f(r, \varphi, y):= (g \circ h)(r, \varphi,y)= g(r \cos \varphi,y, r \sin \varphi) \)
\( \bigg(= (r \cos \varphi)^2 + (r \sin\varphi)^2 - R^2 = r^2 -R^2 \bigg)\).
Du hast wohl einfach \(\nabla f (r, \varphi , y)\) ausgerechnet und festgestellt, dass nach Rücktransformation nicht das gleiche dasteht wie bei \(\nabla g\).
Das liegt wie gesagt an der Kettenregel. Denn es ist
\(\nabla g (x,y,z) = \nabla (f \circ h^{-1})(x,y,z)= (\nabla f) (h^{-1}(x,y,z)) \cdot (\nabla h^{-1})(x,y,z) = (\nabla f) (h^{-1}(x,y,z)) \cdot [ (\nabla h)(h^{-1}(x,y,z))]^{-1}\)
Wenn wir nun \(h(r,\varphi, y)= (x,y,z)\), also \(h^{-1}(x,y,z)=(r, \varphi , y)\) einsetzen, erhalten wir
\(\nabla g (x,y,z) = \nabla f (r,\varphi,y) \cdot [\nabla h (r,\varphi,y)]^{-1}\).

Und dann kommt auch tatsächlich das gleiche raus wie vorher.



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Jocobes
Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 24.10.2019
Mitteilungen: 12
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-08


Danke für die rasche Antwort. Also gänzlich mathematisch habe ich nicht folgen können aber die Grundzüge hab ich verstanden denk ich. Muss mir das in Ruhe noch einmal durchdenken selbstständig. Ich hätte allerdings noch eine grundlegende Frage:
Wenn ich folgende Transformation durchführe
fed-Code einblenden
befinde ich mich dann tatsächlich schon im Zylinderkoordinatensystem? Ich gebe den Punkt, oder die Menge an Punkten, ja immer noch in kartesischen Koordinaten an und rechen lediglich Radius und Winkel in die dazugehörigen Punkte um.



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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Kampfpudel
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Mitteilungen: 1672
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-01-08


Also das Zylinderkoordinatensystem ist kein gradliniges, orthogonales Koordinatensystem wie das kartesische Koordinatensystem, sondern ein krummliniges, orthogonales Koordinatensystem. Siehe etwa hier de.wikipedia.org/wiki/Koordinatensystem#Gerade,_krumm_und_orthogonal

Wenn du einen Punkt \((r, \varphi, y)\) im Zylinderkoordinatensystem gegeben hast, dann ist dies genau der gleiche Punkt wie der Punkt \((r \cos \varphi, y , r \sin \varphi)\) im kartesischen Koordinatensystem.



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