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Physik » Atom-, Kern-, Quantenphysik » Lindblad-Gleichung für gedämpften harmonischen Oszillator
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Universität/Hochschule J Lindblad-Gleichung für gedämpften harmonischen Oszillator
Physiker123
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-01-08


Hallo zusammen. Ich möchte meine Lösung zu folgender Aufgabe präsentieren und frage mich ob diese richtig ist




Die Lindblad Gleichung lautet

\[\dot{\rho}=-i[H_S,\rho]+\sum\limits_{\mu>0} L_\mu\rho L_\mu^\dagger -\frac{1}{2}[L_\mu^\dagger L_\mu,\rho]\]
Das reduzierte Plancksche Wirkungsquantum ist hier \(\hbar=1\)

\[H_S=\omega\bigg(a^\dagger a+\frac{1}{2}\bigg)\]
ist der Hamiltonoperator des Systems. Was ein Lindblad Superoperator ist weiß ich nicht. Ich denke es gilt

\[L_1=\sqrt{\Gamma}a^\dagger a~~~~L_\mu=0~\forall \mu>1\]
Einsetzen ergibt

\[\dot{\rho}=-i\bigg[\omega\bigg(a^\dagger a+\frac{1}{2}\bigg)\rho-\rho\omega\bigg(a^\dagger a+\frac{1}{2}\bigg)\bigg]+\Gamma\bigg[a^\dagger a\rho a^\dagger a-\frac{1}{2}\bigg(a^\dagger a a^\dagger a\rho-\rho a^\dagger a a^\dagger a\bigg)\bigg]\]

Für das Folgende benötigt man nur die Wirkung des Teilchenzahloperators auf Zustände \(\vert n\rangle\) und \(\langle m\vert\) in der Besetzungszahlbasis

\[a^\dagger a\vert n\rangle=n \vert n \rangle \Leftrightarrow \langle m\vert a^\dagger a=m\langle m\vert\]
Damit

\[\langle m \vert \dot{\rho}\vert n\rangle=-i\omega\bigg(m\langle m\vert \rho\vert n\rangle-n\langle m\vert \rho\vert n\rangle\bigg)+\Gamma\bigg[mn\langle m\vert \rho\vert n\rangle-\frac{1}{2}\bigg(m^2\langle m\vert \rho\vert n\rangle-n^2\langle m\vert \rho\vert n\rangle\bigg)\bigg]\]
Also

\[\dot{\rho}_{mn}+\bigg[i\omega(m-n)-\Gamma \bigg(mn-\frac{m^2-n^2}{2}\bigg)\bigg]\rho_{mn}=0\]
Die Lösung dieser homogenen Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten ist eine Exponentialfunktion

\[\Rightarrow \rho_{mn}=e^{-\frac{\Gamma}{2}t(m-n)^2}\cdot e^{-i\omega t(m-n)}\]
Der zweite Term beschreibt die Entwicklung des Systems ohne Wechselwirkung mit der Umgebung.

Ist das korrekt? Wie kann man das Ergebnis interpretieren? Ich sehe nur, dass Einträge in der Dichtematrix schneller abfallen desto weiter sie von der Hauptdiagonalen "entfernt" sind. Vielen Dank im Voraus



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Physiker123 hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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