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Moderiert von Dixon Orangenschale
Physik » Atom-, Kern-, Quantenphysik » Differentialgleichung iterativ lösen (Lindblad)
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Universität/Hochschule J Differentialgleichung iterativ lösen (Lindblad)
Physiker123
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-01-08


Hallo zusammen. Ich habe zu einem quantenmechanischen System folgende Differentialgleichung erhalten

\[\dot{\rho}_{m,m}=\Gamma(m+1)\rho_{m+1,m+1}\]
Die \(\rho_{m,m}\) sind Hauptdiagonalelemente einer Dichtematrix. Gibt es irgendeine Methode mit der man die Gleichung iterativ lösen kann? Ich
benötige das Ergebnis zur Berechnung des Erwartungswerts

\[\langle a\rangle (t)=\sum\limits_i i \int \rho_{ii}~dt\]
Kann die oben angegbene Gleichung überhaupt richtig sein? Wenn mein Zustand beispielsweise durch die Dichtematrix

\[\rho=\begin{pmatrix}  \rho_{00} & \rho_{01} \\ \rho_{10} & \rho_{11}\end{pmatrix}\]
beschrieben wird wäre

\[\dot{\rho}_{11}=2\Gamma\rho_{22}\]
Das Matrixelement \(\rho_{22}\) gibt es aber nicht.

Kann jemand helfen?

Zur Vollständigkeit hier noch die genaue Aufgabenstellung






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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-01-08


2020-01-08 18:16 - Physiker123 im Themenstart schreibt:
Kann die oben angegbene Gleichung überhaupt richtig sein?

Nein, denn $\operatorname{tr}\rho=\sum_{n\ge0}\rho_{n,n}$ bleibt nicht erhalten.

2020-01-08 18:16 - Physiker123 im Themenstart schreibt:
Das Matrixelement \(\rho_{22}\) gibt es aber nicht.

Das zeigt nur, dass du die Basis des Hilbertraums nicht willkürlich bei $n=1$ "abschneiden" darfst.

2020-01-08 18:16 - Physiker123 im Themenstart schreibt:
Kann jemand helfen?

Wenn du deine Ableitung der Mastergleichung aus dem Lindblad-Operator hier mal hinschreibst, sollte sich der Fehler finden lassen.

--zippy



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Physiker123
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-09


Vielen Dank für deine Nachricht

Die Lindblad Gleichung lautet

\[\dot{\rho}=-i\omega(a^\dagger a\rho-\rho a^\dagger a)+\Gamma\bigg(a\rho a^\dagger-\frac{1}{2}(a^\dagger a \rho-\rho a^\dagger a)\bigg)\]
Damit ist

\[\begin{split} Tr(a\dot{\rho}) & = -i\omega\bigg[Tr(aa^\dagger a\rho)-Tr(a\rho a^\dagger a)\bigg]+\Gamma\bigg[Tr(a a \rho a^\dagger)-\frac{1}{2}Tr(a a^\dagger a \rho)+\frac{1}{2}Tr(a\rho a^\dagger a)\bigg] \\ & = -i\omega\bigg[Tr(aa^\dagger a \rho)-Tr(a^\dagger a a \rho)\bigg]+\Gamma\bigg[Tr(a^\dagger  a a \rho)-\frac{1}{2}Tr(a a^\dagger a \rho)+\frac{1}{2}Tr(a^\dagger a a\rho)\bigg] \\ & = Tr(a a^\dagger a \rho)\bigg[-i\omega-\frac{\Gamma}{2}\bigg]+Tr(a^\dagger a a \rho)\bigg[i\omega+\Gamma\bigg(1+\frac{1}{2}\bigg)\bigg] \end{split}\]
In der zweiten Zeile wurde die Invarianz der Spur unter zyklischen Vertauschungen ausgenutzt. Die Matrizenmultiplikation führe ich schrittweise aus

\[(a\rho)_{ik}=\sum\limits_{j} a_{ij}\rho_{jk}=\sum\limits_j \sqrt{j}\delta_{i+1,j}\rho_{jk}=\sqrt{i+1}\rho_{i+1,k}\]
\[(a^\dagger a a \rho)_{ik}=\sum\limits_{j} (a^\dagger a)_{ij} (a\rho)_{jk}=\sum\limits_{j}j\delta_{ij}\sqrt{j+1}\rho_{j+1,k}=i\sqrt{i+1}\rho_{i+1,k}\]
\[\Rightarrow Tr(a^\dagger a a\rho)=\sum\limits_m m\sqrt{m+1}\rho_{m+1,m}\]
Analog

\[\Rightarrow Tr(a a^\dagger a \rho)=\sum\limits_m (m+1)^{3/2} \rho_{m+1,m}\]
Ist das jetzt richtig? Wie kann ich die Spur und damit den Erwartungswert berechnen ohne die Dichtematrix zu kennen?



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-01-09


Du musst bei solchen Rechnungen die algebraischen Relationen zwischen den Operatoren ins Spiel bringen. Hier also die Kommutatorrelation $
\bigl[a,a^+\bigr]=1$:$$ \def\tr{\operatorname{tr}}
\begin{align*}
{\mathrm d\over\mathrm dt}\,\langle a\rangle
&=-i\omega\,\tr\Bigl[a\,a^+a\,\rho - a\,\rho\,a^+a\Bigr]
  +\frac\Gamma2\,\tr\Bigl[2\,a\,a\,\rho\,a^+
  - a\,a^+a\,\rho - a\,\rho\,a^+a\Bigr] \\[1.5ex]
&=-i\omega\,\tr\Bigl[a\,a^+a\,\rho - a^+a\,a\,\rho\Bigr]
  +\frac\Gamma2\,\tr\Bigl[2\,a^+a\,a\,\rho
  - a\,a^+a\,\rho - a^+a\,a\,\rho\Bigr] \\[1.5ex]
&=-i\omega\,\tr\Bigl[a\,\rho\Bigr]
  -\frac\Gamma2\,\tr\Bigl[a\,\rho\Bigr] \\[1.5ex]
&=\left(-i\omega-\frac\Gamma2\right)\langle a\rangle
\end{align*}
$$Diese DGL hat die Lösung $\langle a\rangle(t)=e^{\left(-i\omega-\frac\Gamma2\right)t}\langle a\rangle(0)$. Und die Rechnung für $\langle N\rangle(t)$ läuft ganz analog.



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Physiker123
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-09


Ich habe beim Rechnen heute Mittag fast genau das selbe Ergebnis erhalten. Allerdings nicht mit negativem Vorzeichen im Exponenten. Das liegt sicher daran, dass ich die bosonischen Vertauschungsrelationen angewandt habe.

Was ich noch nicht verstehe:

Der quantenmechanische Oszillator wird gedämpft indem ein Phonon in ein Photon umgewandelt und an die Umgebung abgegeben wird. Wieso rechnet man dann mit Fermionen? Die Dichtematrix (bzw. Lindblad Gleichung) beschreibt doch den Oszillator.

Und wieso ist der Erwartungswert nicht reell?



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-01-09


2020-01-09 20:40 - Physiker123 in Beitrag No. 4 schreibt:
Wieso rechnet man dann mit Fermionen?

Wie kommst du darauf, dass mit Fermionen gerechnet würde?

$\bigl[a,a^+\bigr]=a\,a^+-a^+a=1$ ist die CCR für ein Boson. Für ein Fermion hätte man die CAR $\bigl\{a,a^+\bigr\}=a\,a^++a^+a=1$.

2020-01-09 20:40 - Physiker123 in Beitrag No. 4 schreibt:
Ich habe beim Rechnen heute Mittag fast genau das selbe Ergebnis erhalten. Allerdings nicht mit negativem Vorzeichen im Exponenten. Das liegt sicher daran, dass ich die bosonischen Vertauschungsrelationen angewandt habe.

Daran kann es (siehe oben) nicht liegen.

2020-01-09 20:40 - Physiker123 in Beitrag No. 4 schreibt:
Und wieso ist der Erwartungswert nicht reell?

Weil der Operator $a$ nicht hermitesch ist.

Das sollte dir beim ungedämpften harmonischen Oszillator schon mal aufgefallen sein: Die Heisenbergsche Bewegungsgleichung für $a$ ist $a(t)=e^{-i\omega t}\,a(0)$.



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Physiker123
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-10


Vielen Dank für deine Hilfe



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