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Funktionentheorie » Holomorphie » Cauchy-Riemann-DGL
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Universität/Hochschule Cauchy-Riemann-DGL
Pter87
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-01-08


Ich hab mir gerade eine Herleitung von den Cauchy Riemann DGLs angesehen und verstehe jetzt, wieso diese für komplexe Differenzierbarkeit notwendig gelten müssen.

Mehrdimensionale Analysis ist allerdings schon etwas her aber hängt das nicht irgendwie mit der Integrabilitätsbedingung zusammen, die man bei zweidimensionalen Vektorfeldern prüft ?



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Vercassivelaunos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-01-09

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Hallo Pter87,

das hat tatsächlich etwas miteinander zu tun. Bei konservativen 2d-Vektorfeldern gilt ja, dass

\[\int_\gamma f(r)\cdot\d r:=\int_0^1\gamma'(t)\cdot f(\gamma(t))\d t=0\]
Der Integrand ist, wenn man $\gamma(t):=(a(t),b(t))$ und $f(x,y)=(r(x,y),s(x,y))$ schreibt:

\[\gamma'\cdot f(\gamma)=a'r+b's\]
Die Argumente von $r$ und $s$ habe ich der Übersicht halber ausgelassen. Das Integral darüber (in einem einfach zusammenhängenden Gebiet mit geschlossenem Weg) verschwindet genau dann für alle $\gamma$, wenn $\partial_y r=\partial_x s$.

Nun verschwindet ja auch das geschlossene Kurvenintegral in einem einfach zusammenhängenden Gebiet über holomorphe Funktionen, wobei das Integral hier

\[\int_\gamma f(z)\d z:=\int_0^1\gamma'(t)\cdot f(\gamma(t))\d t\]
ist. Hier lässt sich der Integrand mit $\gamma=a+\i b,~f=u(x,y)+\i v(x,y)$ schreiben als

\[\gamma'\cdot f(\gamma)=(a'+\i b')(u(a,b)+\i v(a,b))\\
=(a'u-b'v)+\i(a'v+b'u)\]
Das Integral darüber ist genau dann für alle $\gamma$ (mit den ganzen weiteren Bedingungen) 0, wenn sowohl das Integral über den Realteil, als auch das Integral über den Imaginärteil verschwindet. Für den Realteil können wir $r:=u,~s:=-v$ definieren, um ihn in die Form $a'r+b's$ wie oben zu bringen. Das Integral darüber verschwindet genau dann für alle $\gamma$ (unter den ganzen anderen Bedingungen), wenn die Integrabilitätsbedingung $\partial_yr=\partial_xs$ erfüllt ist, bzw. wenn $\partial_y u=-\partial_x v$. Das ist die eine CR_DGL. Die andere ergibt sich mit ähnlichen Umbenennungen aus dem Imaginärteil: Definiere $r:=v$ und $s:=u$, dann lautet die Integrabilitätsbedingung $\partial_yr=\partial_xs$, bzw. $\partial_yv=\partial_xu$. Das ist die andere CR-DGL.

Die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen beinhalten also die Integrabilitätsbedingungen für den Real- und Imaginärteil des komplexen Wegintegrals.

Viele Grüße
Vercassivelaunos

PS: Ich habe hier jetzt Voraussetzungen wie Differenzierbarkeit der Kurve oder der zu integrierenden Funktion usw. unter den Tisch gekehrt. Der grundsätzliche Zusammenhang ist davon aber denke ich trotzdem verständlich.

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Pter87
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-11


Danke erstmal für deine Antwort. Ich hab noch eine Frage. Die komplexe Differenzierbarkeit wird in meinem Lehrbuch über die totale Differenzierbarkeit im Reellen hergeleitet. Das ist mir soweit klar, wenn man C als R^2 auffasst. Ich verstehe aber nicht genau, was jetzt eine C-Lineare Abbildung sein soll und wieso die Jakobi Matrix bzw. das Differential in dem Fall C-Linear sein muss ? Das steht als weitere Voraussetzung neben reeller Differenzierbarkeit im Satz.



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Vercassivelaunos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-01-12

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Allgemein ist eine $K$-lineare Abbildung zwischen $K$-Vektorräumen eine Abbildung, die die bekannten Bedingungen für lineare Abbildungen erfüllen, insbesondere, dass $L(ax)=aL(x)$ für alle $a\in K$. Eine $\R$-lineare Abbildung $L:\C\to\C$ ist also eine Abbildung, die $L(rz)=rL(z)$ für alle $z\in\C$ und alle $r\in\R$. Eine $\C$-lineare Abbildung hingegen erfüllt $L(wz)=wL(z)$ für alle $w\in\C$. Diese Bedingung ist stärker als $\R$-Linearität. Zum Beispiel ist die komplexe Konjugation $\R$-linear, da $\overline{rz}=\bar r\bar z=r\bar z$ für alle $\r\in\R$. Sie ist aber nicht $\C$-linear, da $\overline{wz}=\bar w\bar z\neq w\bar z$ falls der Imaginärteil von $w$ nicht 0 ist.

Nun ist ja Differenzierbarkeit einer Funktion $f$ darüber definiert, dass es eine lineare Abbildung $L$ gibt, sodass

\[\lim_{z\to z_0}\frac{\Vert f(z)-f(z_0)-L(z-z_0)\Vert}{\Vert z-z_0\Vert}=0.\]
Für reelle Differenzierbarkeit muss $L$ $\R$-linear sein, und für komplexe Differenzierbarkeit muss $L$ eben $\C$-linear sein. Da die einzigen $\C$-linearen Abbildungen $\C\to\C$ die Multiplikation mit einer Konstanten sind, ist das dann äquivalent dazu, dass es eine komplexe Zahl $w$ gibt, sodass

\[\lim_{z\to z_0}\frac{\Vert f(z)-f(z_0)-w(z-z_0)\Vert}{\Vert z-z_0\Vert}=0\]
gilt. Das ist wiederum äquivalent dazu, dass $w:=\lim_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}$ existiert (die übliche Definition). Wie bei der reellen Differenzierbarkeit, wo die komplizierte Definition von oben sich zur Schuldefinition über den Differenzenquotienten reduziert, solange man in $\R$ selbst bleibt.

Nun ist diese $\C$-lineare Abbildung gleichzeitig auch $\R$-linear, und besitzt entsprechend eine Darstellungsmatrix bezüglich der Basis $\{1,\i\}$. Und die Darstellungsmatrix der Abbildung $x+\i y\mapsto (a+\i b)(x+\i y)=ax-by +\i(bx+ay)$ ist

\[M=\matrix{a&-b\\b&a}\]
Eine solche Matrix würde man dann wohl $\C$-linear nennen.
Diese Matrix erfüllt die Bedingung der reellen Differenzierbarkeit an die lineare Abbildung $L$. Sie ist also die Jacobi-Matrix von $f$, wenn man $f$ als reell differenzierbare Funktion auffasst. Wenn also $f$ komplex differenzierbar sein soll, dann auch automatisch reell differenzierbar mit einer Jacobi-Matrix von der Form wie oben. Umgekehrt ist jede $\R$-lineare Abbildung mit einer solchen Darstellungsmatrix auch $\C$-linear. Eine Funktion ist also genau dann komplex differenzierbar, wenn sie reell differenzierbar mit obiger Jacobi-Matrix ist. Da die Einträge der Jacobimatrix gerade die partiellen Ableitungen sind, kann man daraus einfach die CR-DGLs ablesen.
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Pter87
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Ich hab noch eine Frage zur der Bedingung damit eine Funktion komplex differenzierbar ist. In einem meiner Bücher steht, dass die Funktion total differenzierbar sein soll(nach reeller Analysis) und die CR-DGL erfüllen muss. In einem anderen Buch steht:

f ist holomorph auf einer offenen Menge U aus C genau dann, wenn die partiellen Ableitungen von u = Re f und v = Im f existieren und die CR-DGL in U erfüllt sind.

Stimmt die zweite Defintion ? Ich hätte eigentlich noch erwartet, dass die partiellen Ableitungen stetig sind.



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