Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Curufin epsilonkugel
Funktionenfolgen und -reihen » Konvergenz » Bedeutung von gleichmäßiger Konvergenz
Druckversion
Druckversion
Antworten
Antworten
Autor
Schule Bedeutung von gleichmäßiger Konvergenz
pascalmarcel1117
Neu Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 08.01.2020
Mitteilungen: 3
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-01-09


Hallo,
meine Frage lautet, ob gleichmäßig Konvergent bedeuted, dass eine Funktion in einem Intervall dauerhaft streng monoton fallend/steigend zu einem gewissen Grenzwert konvergiert?
Hoffe mir kann jemand weiter helfen. Vielen Dank schon einmal
LG



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten
SergejGleitman
Ehemals Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 13.11.2019
Mitteilungen: 24
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-01-09

\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}\)
Hallo,

gleichmäßige Konvergenz ist zuerst einmal eine Eigenschaft von Funktionenfolgen und nicht von Funktionen.

Ferner hat gleichmäßige Konvergenz auch nichts mit (strenger) Monotonität zu tun.
Es beschreibt, dass eine Folge von Funktionen gegen eine Funktion konvergiert und zwar so, dass ab einer gewissen Funktion der Folge, alle folgenden Funktionen auf dem ganzen Intervall beliebig dicht an der Grenzfunktion liegen.

Formal also:

Eine Folge von Funktionen $(f_n(x))_{n\in\N}$ ist genau dann gleichmäßig Konvergent auf einem Intervall $I$ gegen eine Grenzfunktion f, wenn für jedes $\varepsilon>0$ ein Index $N_\varepsilon \in \N$ existiert, sodass $|f(x) - f_{n}(x)|< \varepsilon$, für alle $n>N_\varepsilon$ und alle $x\in I$.

LG Serj
\(\endgroup\)


Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
X3nion
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 17.04.2014
Mitteilungen: 1028
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-01-09


Hallo pascalmarcel1117,

nun schauen wir uns doch beide Definitionen einmal an;

Sei <math>K</math> eine Menge und seien <math>f_n : K \to \mathbb{C}, n \in \mathbb{N}</math> Funktionen.

Die Folge <math>(f_{n})</math> konvergiert punktweise gegen eine Funktion <math>f: K \to \mathbb{C}</math>, falls für jedes <math>x \in K</math> die Folge <math>(f_{n}(x))</math> gegen f(x) komvergiert, also wenn:
(*)   zu jedem <math>x \in K</math> und <math>\epsilon > 0</math> ein <math>N = N(x, \epsilon)</math> existiert, sodass
<math>|f_{n}(x) - f(x)| < \epsilon</math> für alle <math>n \ge N</math>.


Die Folge <math>(f_{n})</math> konvergiert gleichmäßig gegen eine Funktion <math>f: K \to \mathbb{C}</math>, falls
(**)    zu jedem <math>\epsilon > 0</math> ein <math>N = N(\epsilon)</math> existiert, sodass
<math>|f_{n}(x) - f(x)| < \epsilon</math> für alle <math>x \in K</math> und <math>n \ge N</math>.


Bei der ersten Definition der punktweisen Konvergenz wird ein x aus K zuerst rausgepickt und man prüft DANN, ob für jedes positive Epsilon eine natürliche Zahl in Abhängigkeit von x UND Epsilon existiert, sodass für alle natürlichen Zahlen, die größer als N sind, die Betragsungleichung gilt. Man wiederholt quasi dieses Procedere für alle x aus K, also wählt ein beliebiges aber für die nachfolgende Rechnung festes x und prüft dann die Epsilon-Bedingung. Merke hierbei auch, dass das N vom Epsilon UND x abhängt.
Punktweise Konvergenz gegen eine Funktion <math>f: K \to \mathbb{C}</math> liegt nur dann vor, wenn für jedes x aus K die „Epsilon-Prüfung“ gelingt.
Gleichmäßige Konvergenz liegt also genau dann NICHT vor, wenn es ein x aus K gibt, für welches die Epsilon-Prüfung nicht gilt, für welches also (*) nicht geht.
In diesem Fall würden wir also ein <math>\epsilon > 0</math> finden, sodass es zu jeder natürlichen Zahl <math>n_{0}</math> eine natürliche Zahl <math>n \ge n_{0}</math> existiert mit <math>|f_{n}(x) - f(x)| \ge \epsilon</math>.

Bei der gleichmäßigen Konvergenz interessieren wir uns zunächst nicht für die Punkte.
Vielmehr wählen wir hier zunächst ein beliebiges positives Epsilon, setzen es nun fest.
DANN fordern wir, dass wir eine natürliche Zahl (dieses Mal NUR in Abhängigkeit vom Epsilon) finden, sodass die Epsilon-Ungleichung für alle natürlichen Zahlen größer N UND alle x aus K gilt!
Nur wenn diese Prüfung für alle Epsilon > 0 gilt, liegt gleichmäßige Konvergenz vor.
Gleichmäßige Konvergenz liegt also genau dann NICHT vor, wenn es ein <math>\epsilon > 0</math> gibt, sodass für alle <math>n_{0} \in \mathbb{N}</math> ein <math>n \ge n_{0}</math> existiert, mit $|f_{n}(x) - f(x)| \ge \epsilon$ für ein $x \in K$.

Es gibt also ein Epsilon > 0, sodass ein x aus K nicht mitspielt.


Ich hoffe, ich konnte den Sachverhalt etwas verständlicher machen 😄


Viele Grüße,
X3nion


[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
SergejGleitman
Ehemals Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 13.11.2019
Mitteilungen: 24
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-01-10

\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}\)
Ein Beispiel:



Die linke Funktionenfolge konvergiert nicht gleichmäßig, die rechte schon.

Es gibt im linken Fall keine Möglichkeit die Funktion in den $\varepsilon$-Schlauch zu bekommen. Im rechten Fall finden wir ein Folgenglied, ab dem es möglich ist.

Punktweise Konvergenz, wie X3nion sie ansprach, liegt dennoch in beiden Fällen vor.

LG Serj

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]
\(\endgroup\)


Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Neues Thema [Neues Thema] Antworten [Antworten]    Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2021 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]