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Analysis » Folgen und Reihen » Sinusfolge monoton fallend
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Universität/Hochschule Sinusfolge monoton fallend
Math_user
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-01-13 11:44


Hallo zusammen

Ich versuche zu bestimmen ob folgende Serie konvergiert aber ich komme nicht weiter.. Gegeben ist die Serie \(\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n sin(\frac{1}{n})\). Mir kommt spontan das Leibnizkriterium in den Sinn, jedoch habe ich mühe zu zeigen, dass die Folge monoton fallend ist. Kann mir da jemand weiterhelfen?

Vielen Dank!
Gruss,
Math_user



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Vercassivelaunos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-01-13 11:58

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Hallo Math_user,

kannst du zeigen, dass der Sinus auf $[0,\frac{\pi}{2}]$ monoton steigt?

Viele Grüße
Vercassivelaunos
\(\endgroup\)


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Math_user
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-13 12:34

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2020-01-13 11:58 - Vercassivelaunos in Beitrag No. 1 schreibt:
Hallo Math_user,

kannst du zeigen, dass der Sinus auf $[0,\frac{\pi}{2}]$ monoton steigt?

Viele Grüße
Vercassivelaunos

Ja dies kann ich zeigen aber ich sehe nicht, wie mir dies weiterhelfen soll.
\(\endgroup\)


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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-01-13 12:38

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Hallo Math_user,

2020-01-13 12:34 - Math_user in Beitrag No. 2 schreibt:
2020-01-13 11:58 - Vercassivelaunos in Beitrag No. 1 schreibt:
Hallo Math_user,

kannst du zeigen, dass der Sinus auf $[0,\frac{\pi}{2}]$ monoton steigt?

Viele Grüße
Vercassivelaunos

Ja dies kann ich zeigen aber ich sehe nicht, wie mir dies weiterhelfen soll.

Da dein Summationsindex bei \(n=1\) beginnt, liegen alle Argumente des Sinus im Intervall \((0,1]\subset\left[0,\frac{\pi}{2}\right]\).

Wegen \(\frac{1}{n+1}<\frac{1}{n}\) bilden die Sinuswerte in deiner Reihe somit eine (streng) monoton fallende Nullfolge (denn es ist \(sin(0)=0\)).


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Math_user
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-13 12:47


Vielen Dank für deine Antwort. Ich glaube verstanden zu haben, wieso es fallend ist. Nun würde ich aber anders vorgehen um zu zeigen, dass \(\lim_{n \to\infty } sin(\frac{1}{n}) = 0\).
Es gilt doch \(0 \leq sin(\frac{1}{n}) \leq \frac{1}{n}\) für alle \(n \in \mathbb{N}\) und mit dem Sandwichtlemma folgt, dass \(\lim_{n \to\infty } sin(\frac{1}{n}) = 0\). Stimmt dies auch? (Obwohl ich gerade bemerke, dass deine Argumentation einfacher wäre)



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-01-13 12:59

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Hallo,

2020-01-13 12:47 - Math_user in Beitrag No. 4 schreibt:
Vielen Dank für deine Antwort. Ich glaube verstanden zu haben, wieso es fallend ist. Nun würde ich aber anders vorgehen um zu zeigen, dass \(\lim_{n \to\infty } sin(\frac{1}{n}) = 0\).
Es gilt doch \(0 \leq sin(\frac{1}{n}) \leq \frac{1}{n}\) für alle \(n \in \mathbb{N}\) und mit dem Sandwichtlemma folgt, dass \(\lim_{n \to\infty } sin(\frac{1}{n}) = 0\). Stimmt dies auch?

Ja, das stimmt schon auch...

2020-01-13 12:47 - Math_user in Beitrag No. 4 schreibt:
(Obwohl ich gerade bemerke, dass deine Argumentation einfacher wäre)

... gelinde gesagt: ja. Und man soll sich das Leben ja nicht unnötig schwer machen.  smile


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Math_user
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-13 13:02


2020-01-13 12:59 - Diophant in Beitrag No. 5 schreibt:
... gelinde gesagt: ja. Und man soll sich das Leben ja nicht unnötig schwer machen.  smile

Dies hast du schön formuliert, Mathe ist ja schon genug schwer  biggrin
Vielen Dank für deine Hilfe!
Guten Nachmittag
Math_user



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Vercassivelaunos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2020-01-13 14:35

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2020-01-13 12:47 - Math_user in Beitrag No. 4 schreibt:
Es gilt doch \(0 \leq sin(\frac{1}{n}) \leq \frac{1}{n}\) für alle \(n \in \mathbb{N}\) und mit dem Sandwichtlemma folgt, dass \(\lim_{n \to\infty } sin(\frac{1}{n}) = 0\). Stimmt dies auch? (Obwohl ich gerade bemerke, dass deine Argumentation einfacher wäre)

Die Aussage stimmt zwar, hilft aber nicht viel, da du nicht nur zeigen musst, dass der Limes 0 ist, sondern auch, dass die Folge monoton ist. So wie Diophant es vorgemacht hat, funktioniert es.
\(\endgroup\)


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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2020-01-13 16:00


2020-01-13 12:47 - Math_user in Beitrag No. 4 schreibt:
Vielen Dank für deine Antwort. Ich glaube verstanden zu haben, wieso es fallend ist. Nun würde ich aber anders vorgehen um zu zeigen, dass \(\lim_{n \to\infty } sin(\frac{1}{n}) = 0\).
Es gilt doch \(0 \leq sin(\frac{1}{n}) \leq \frac{1}{n}\) für alle \(n \in \mathbb{N}\) und mit dem Sandwichtlemma folgt, dass \(\lim_{n \to\infty } sin(\frac{1}{n}) = 0\). Stimmt dies auch? (Obwohl ich gerade bemerke, dass deine Argumentation einfacher wäre)

Wenn es nur darum geht, dass die Reihenglieder eine Nullfolge bilden, scheint es mir doch weitaus naheliegender zu sein, einfach die Stetigkeit der Sinus-Funktion, also die Vertauschbarkeit von lim und sin in der nachfolgenden Rechnung zu verwenden:
\[\lim\limits_{n\to\infty} \sin\left(\frac 1n\right)=\sin\left(\lim\limits_{n\to\infty}\frac 1n\right)=\sin 0=0\] Interessant wäre auch, wie du die fallende Monotonie von $\sin(1/n)$ wirklich beweist.



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Math_user
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-13 16:28


2020-01-13 16:00 - weird in Beitrag No. 8 schreibt:
2020-01-13 12:47 - Math_user in Beitrag No. 4 schreibt:
Vielen Dank für deine Antwort. Ich glaube verstanden zu haben, wieso es fallend ist. Nun würde ich aber anders vorgehen um zu zeigen, dass \(\lim_{n \to\infty } sin(\frac{1}{n}) = 0\).
Es gilt doch \(0 \leq sin(\frac{1}{n}) \leq \frac{1}{n}\) für alle \(n \in \mathbb{N}\) und mit dem Sandwichtlemma folgt, dass \(\lim_{n \to\infty } sin(\frac{1}{n}) = 0\). Stimmt dies auch? (Obwohl ich gerade bemerke, dass deine Argumentation einfacher wäre)

Wenn es nur darum geht, dass die Reihenglieder eine Nullfolge bilden, scheint es mir doch weitaus naheliegender zu sein, einfach die Stetigkeit der Sinus-Funktion, also die Vertauschbarkeit von lim und sin in der nachfolgenden Rechnung zu verwenden:
\[\lim\limits_{n\to\infty} \sin\left(\frac 1n\right)=\sin\left(\lim\limits_{n\to\infty}\frac 1n\right)=\sin 0=0\] Interessant wäre auch, wie du die fallende Monotonie von $\sin(1/n)$ wirklich beweist.

Ich nutze gerade hier die Chance eine Frage zu stellen, die mich schon lange beschäftigt. Wenn eine Funktion stetig ist, kann ich immer den Limes hineinziehen? Also z.B. bei Wurzel, exp, ln, Potenzen, sin,....? Ich hoffe du verstehst was ich meine  smile



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Math_user
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-13 16:29

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2020-01-13 14:35 - Vercassivelaunos in Beitrag No. 7 schreibt:
2020-01-13 12:47 - Math_user in Beitrag No. 4 schreibt:
Es gilt doch \(0 \leq sin(\frac{1}{n}) \leq \frac{1}{n}\) für alle \(n \in \mathbb{N}\) und mit dem Sandwichtlemma folgt, dass \(\lim_{n \to\infty } sin(\frac{1}{n}) = 0\). Stimmt dies auch? (Obwohl ich gerade bemerke, dass deine Argumentation einfacher wäre)

Die Aussage stimmt zwar, hilft aber nicht viel, da du nicht nur zeigen musst, dass der Limes 0 ist, sondern auch, dass die Folge monoton ist. So wie Diophant es vorgemacht hat, funktioniert es.

Wie meinst du dies? Ich will dieses Argument nur nützen um zu zeigen, dass meine Folge eine Nullfolge ist....
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X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2020-01-13 16:43


Es genügt nicht zu zeigen, dass sin(1/n) eine Nullfolge ist, sondern es muss eine monoton fallende Nullfolge sein.



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-13 16:51


2020-01-13 16:43 - X3nion in Beitrag No. 11 schreibt:
Es genügt nicht zu zeigen, dass sin(1/n) eine Nullfolge ist, sondern es muss eine monoton fallende Nullfolge sein.


Dies ist mir bewusst aber ich möchte ja hier nur zeigen, dass meine Folge eine Nullfolge ist. Mit Beitrag Nr. 5 von Diophant ist mir klar, wie ich beweise, dass es einen monoton fallende Folge ist. Ich weiss ich könnte direkt darauf kommen, dass dann der Grenzwert 0 sein muss aber ich wollte noch einen zweiten Weg vorschlagen.



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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2020-01-14 21:19


2020-01-13 16:28 - Math_user in Beitrag No. 9 schreibt:
Ich nutze gerade hier die Chance eine Frage zu stellen, die mich schon lange beschäftigt. Wenn eine Funktion stetig ist, kann ich immer den Limes hineinziehen? Also z.B. bei Wurzel, exp, ln, Potenzen, sin,....? Ich hoffe du verstehst was ich meine  smile

Ja, und ich verstehe leider auch, dass dir nicht so wirklich klar ist, was Stetigkeit eigentlich bedeutet. Diese Möglichkeit des "Hineinziehens des Limes" ist nämlich gerade die "Essenz" der Stetigkeit von reellen Funktionen. (S. etwa hier bei "Definition mittels Grenzwerten").



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