Die Mathe-Redaktion - 18.02.2020 13:06 - Registrieren/Login
Auswahl
ListenpunktHome
ListenpunktAktuell und Interessant ai
ListenpunktArtikelübersicht/-suche
ListenpunktAlle Links / Mathe-Links
ListenpunktFach- & Sachbücher
ListenpunktMitglieder / Karte / Top 15
ListenpunktRegistrieren/Login
ListenpunktArbeitsgruppen
Listenpunkt? im neuen Schwätz
ListenpunktWerde Mathe-Millionär!
ListenpunktFormeleditor fedgeo
Schwarzes Brett
Aktion im Forum
Suche
Stichwortsuche in Artikeln und Links von Matheplanet
Suchen im Forum
Suchtipps

Bücher
Englische Bücher
Software
Suchbegriffe:
Mathematik bei amazon
Naturwissenschaft & Technik
In Partnerschaft mit Amazon.de
Kontakt
Mail an Matroid
[Keine Übungsaufgaben!]
Impressum

Bitte beachten Sie unsere Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, unsere Datenschutzerklärung und
die Forumregeln.

Sie können Mitglied werden. Mitglieder können den Matheplanet-Newsletter bestellen, der etwa alle 2 Monate erscheint.

Der Newsletter Okt. 2017

Für Mitglieder
Mathematisch für Anfänger
Wer ist Online
Aktuell sind 645 Gäste und 17 Mitglieder online.

Sie können Mitglied werden:
Klick hier.

Über Matheplanet
 
Zum letzten Themenfilter: Themenfilter:
Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Buri Gockel
Strukturen und Algebra » Algebraische Geometrie » Invariante offene Teilmengen = Homogene Radikalideale
Druckversion
Druckversion
Antworten
Antworten
Autor
Universität/Hochschule Invariante offene Teilmengen = Homogene Radikalideale
Nichtarchimedes
Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 30.12.2017
Mitteilungen: 15
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-01-13

\(\begingroup\)\(\newcommand{\numberset}{\mathbb} \newcommand{\IN}{\numberset{N}} \newcommand{\IZ}{\numberset{Z}} \newcommand{\IQ}{\numberset{Q}} \newcommand{\IR}{\numberset{R}} \newcommand{\IC}{\numberset{C}} \newcommand{\IH}{\numberset{H}} \newcommand{\IA}{\numberset{A}} \newcommand{\IP}{\numberset{P}} \newcommand{\IF}{\numberset{F}} \newcommand{\IT}{\numberset{T}} \newcommand{\IG}{\numberset{G}} \newcommand{\id}{\mathrm{id}} \newcommand{\ev}{\mathrm{ev}} \newcommand{\pt}{\mathrm{pt}} \newcommand{\Ker}{\operatorname{Ker}} \newcommand{\Opn}{\mathrm{Opn}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Spec}{\mathrm{Spec}} \newcommand{\categoryname}{\mathrm} \newcommand{\Set}{{\categoryname{Set}}} \newcommand{\Mod}{{\categoryname{Mod}}} \newcommand{\Ring}{{\categoryname{Ring}}} \newcommand{\Top}{{\categoryname{Top}}} \newcommand{\Sch}{{\categoryname{Sch}}} \newcommand{\Loc}{{\categoryname{Loc}}} \newcommand{\LRLoc}{\categoryname{LRLoc}} \newcommand{\Sh}{\categoryname{Sh}} \newcommand{\PSh}{\categoryname{PSh}} \newcommand{\Aff}{\categoryname{Aff}} \newcommand{\category}{\mathcal} \newcommand{\sheaf}{\mathcal} \newcommand{\op}{{\mathrm{op}}} \newcommand{\blank}{{-}} \newcommand{\units}{\times} \newcommand{\assoc}{\widetilde}\)
Wenn ich von Schemata spreche meine ich $k$-Schemata über einem kommutativen Grundring $k$. Ich verwende im Folgenden die funktorielle Sichtweise.

Ich schreibe $\IG_m$ für das Gruppenschema mit $\IG_m(A) = A^\units$, welches durch $k[T^{\pm1}]$ dargestellt wird. Ich schreibe $\IA^1$ für die affine Gerade mit $\IA^1(A) = A$ und $\sheaf{O}(X) = \Hom(X,\IA^1)$.

Es gibt eine Kategorienäquivalenz zwischen affinen Schemata mit $\IG_m$-Wirkung und $\IZ$-graduierten Ringen: Ist $X$ ein affines Schema mit $\IG_m$-Wirkung, dann trägt $\sheaf{O}(X)$ eine Graduierung, bei der $f \in \sheaf{O}(X)$ homogen vom Grad $n$ ist, wenn $f(tx) = t^n f(x)$ für alle $x \in X(A)$, $t \in \IG_m(A)$ gilt.

Ist umgekehrt $S$ ein graduierter Ring, so trägt $\Spec(S)$ (mit $\Spec(S)(A) = \Hom(S,A)$) eine $\IG_m$-Wirkung, bei der $t \cdot \alpha$ für $t \in \IG_m(A)$ und $\alpha \in \Spec(S)(A)$ auf homogenen Elementen vom Grad $n$ durch $(t\cdot\alpha)(f) = t^n \alpha(f)$ gegeben ist.

Frage: Ist es richtig, dass sich die Bijektion
$$\{\text{Offene Unterschemata von }X\} \cong \{\text{Radikalideale von }\sheaf{O}(X)\}$$ einschränkt zu einer Bijektion zwischen $\IG_m$-invarianten offenen Unterschemata und homogenen Radikalidealen?

Ich kann zeigen, dass ein homogenes Ideal ein $\IG_m$-invariantes offenes Unterschema definiert. (Da die offene Vereinigung von $\IG_m$-invarianten offenen Unterschemata wieder invariant ist, kann man sich auf $D(f)$ für $f$ homogen einschränken, wo es klar ist.)

Ich kann die entsprechende Aussage, dass die abgeschlossenen $\IG_m$-invarianten Unterschemata genau den homogenen Idealen von $\sheaf{O}(X)$ entsprechen, zeigen.

Dass das definierende Ideal eines invarianten offenen Unterschemas homogen ist, bekomme ich nicht gezeigt. Ich habe zunächst versucht, irgendwie direkt zu argumentieren. Dann habe ich versucht zu zeigen, dass (in der konkreten Situation oder auch für eine allgemeine Wirkung eines Gruppenschemas $G$ auf ein Schema $X$) sich die Bijektion zwischen offenen Unterschemata und reduzierten abgeschlossenen Unterschemata zu einer Bijektion zwischen jeweils $G$-invarianten Unterschemata einschränkt. Das kann ich auch nicht zeigen.

Frage: Stimmt diese allgemeine Aussage?
\(\endgroup\)


  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Triceratops
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 4319
Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-01-13


Nur damit wir auf demselben Stand sind: Für ein Radikalideal $I \subseteq S$ ist der offene Unterfunktor $X_I \subseteq \mathrm{Spec}(S)$ ist genau dann $\mathbb{G}_m$-invariant, wenn für alle $R \in \mathbf{CRing}$, $t \in R^{\times}$, $\alpha \in \hom(S,R)$  gilt: Wenn $\langle \alpha(I) \rangle = R$, dann gilt auch $\langle \beta(I) \rangle = R$, wobei $\beta \in \hom(S,R)$ auf homogenen Elementen durch $\beta(s)=t^{\deg(s)} \alpha(s)$ definiert ist.

Wenn $I$ homogen ist, kann man dann leicht zeigen, dass das erfüllt ist. Bei der Umkehrung bietet es sich an, für $\alpha$ die Lokalisierung $ S \to S[f^{-1}]$ nach einem Element $f \in I$ zu nehmen und die Einheit $t = \frac{f}{1} \in S[f^{-1}]^{\times}$. Aber da komme ich dann am Ende auf eine Gleichung, die leider nicht ans Ziel führt.



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Nichtarchimedes
Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 30.12.2017
Mitteilungen: 15
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-13

\(\begingroup\)\(\newcommand{\numberset}{\mathbb} \newcommand{\IN}{\numberset{N}} \newcommand{\IZ}{\numberset{Z}} \newcommand{\IQ}{\numberset{Q}} \newcommand{\IR}{\numberset{R}} \newcommand{\IC}{\numberset{C}} \newcommand{\IH}{\numberset{H}} \newcommand{\IA}{\numberset{A}} \newcommand{\IP}{\numberset{P}} \newcommand{\IF}{\numberset{F}} \newcommand{\IT}{\numberset{T}} \newcommand{\IG}{\numberset{G}} \newcommand{\id}{\mathrm{id}} \newcommand{\ev}{\mathrm{ev}} \newcommand{\pt}{\mathrm{pt}} \newcommand{\Ker}{\operatorname{Ker}} \newcommand{\Opn}{\mathrm{Opn}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Spec}{\mathrm{Spec}} \newcommand{\categoryname}{\mathrm} \newcommand{\Set}{{\categoryname{Set}}} \newcommand{\Mod}{{\categoryname{Mod}}} \newcommand{\Ring}{{\categoryname{Ring}}} \newcommand{\Top}{{\categoryname{Top}}} \newcommand{\Sch}{{\categoryname{Sch}}} \newcommand{\Loc}{{\categoryname{Loc}}} \newcommand{\LRLoc}{\categoryname{LRLoc}} \newcommand{\Sh}{\categoryname{Sh}} \newcommand{\PSh}{\categoryname{PSh}} \newcommand{\Aff}{\categoryname{Aff}} \newcommand{\category}{\mathcal} \newcommand{\sheaf}{\mathcal} \newcommand{\op}{{\mathrm{op}}} \newcommand{\blank}{{-}} \newcommand{\units}{\times}\)
Vielen Dank für's Mitdenken. Solche Sachen habe ich auch schon eine Weile probiert. Eine äquivalente Formulierung ist noch die Frage, ob sich ein beliebiges offenes $\IG_m$-invariantes Unterschema als offene Vereinigung von $D(f)$, wobei $f$ homogen ist, schreiben lässt. Insbesondere ließe sich dann jedes offene $\IG_m$-invariante Unterschema als Vereinigung von offenen affinen $\IG_m$-invarianten Unterschemata schreiben.

Frage: Ist das für allgemeine Gruppenschema-Wirkungen richtig oder falsch?

Hier übrigens noch der (einfache) Beweis für den abgeschlossenen Fall: Ist $Z \subseteq X$ ein $\IG_m$-invariantes abgeschlossenes Unterschema, dann schränkt sich die Wirkung zu einer Wirkung $\IG_m \times Z \to Z$ ein und versieht so den Ring $\sheaf{O}(Z)$ mit einer Graduierung. Die Inklusion $Z \to X$ ist ein Morphismus von affinen Schemata mit $\IG_m$-Wirkung, folglich ist $\sheaf{O}(X) \to \sheaf{O}(Z)$ ein Morphismus von graduierten Ringen. Dessen Kern ist aber genau $I(Z)$.
\(\endgroup\)


  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Triceratops
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 4319
Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-01-14


Ich würde mir als Nächstes konkrete Beispiele von graduierten Ringen anschauen und gucken, ob die Bijektion dort gilt. Hast du das schon einmal gemacht? Ich glaube, dass es Gegenbeispiele gibt.

Ein Anfang wäre $S = k[X,Y]$. (Der Ring $S = k[X]$ ist zu einfach.)



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Nichtarchimedes
Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 30.12.2017
Mitteilungen: 15
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-22 02:42

\(\begingroup\)\(\newcommand{\numberset}{\mathbb} \newcommand{\IN}{\numberset{N}} \newcommand{\IZ}{\numberset{Z}} \newcommand{\IQ}{\numberset{Q}} \newcommand{\IR}{\numberset{R}} \newcommand{\IC}{\numberset{C}} \newcommand{\IH}{\numberset{H}} \newcommand{\IA}{\numberset{A}} \newcommand{\IP}{\numberset{P}} \newcommand{\IF}{\numberset{F}} \newcommand{\IT}{\numberset{T}} \newcommand{\IG}{\numberset{G}} \newcommand{\id}{\mathrm{id}} \newcommand{\ev}{\mathrm{ev}} \newcommand{\pt}{\mathrm{pt}} \newcommand{\Ker}{\operatorname{Ker}} \newcommand{\Opn}{\mathrm{Opn}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Spec}{\mathrm{Spec}} \newcommand{\categoryname}{\mathrm} \newcommand{\Set}{{\categoryname{Set}}} \newcommand{\Mod}{{\categoryname{Mod}}} \newcommand{\Ring}{{\categoryname{Ring}}} \newcommand{\Top}{{\categoryname{Top}}} \newcommand{\Sch}{{\categoryname{Sch}}} \newcommand{\Loc}{{\categoryname{Loc}}} \newcommand{\LRLoc}{\categoryname{LRLoc}} \newcommand{\Sh}{\categoryname{Sh}} \newcommand{\PSh}{\categoryname{PSh}} \newcommand{\Aff}{\categoryname{Aff}} \newcommand{\category}{\mathcal} \newcommand{\sheaf}{\mathcal} \newcommand{\op}{{\mathrm{op}}} \newcommand{\blank}{{-}} \newcommand{\units}{\times}\)
Vielen Dank.

Leider hatte ich nicht wirklich Erfolg. Wenn ich mir geometrisch eine offene Teilmenge des $\IA^2$ überlege, die invariant unter $\IG_m$ ist, dann ist diese immer durch homogene Polynome definiert. Ich weiß nicht, wie ich systematisch ein Radikalideal $I \subseteq k[X,Y]$ finden kann, sodass $X_I$ $\IG_m$-invariant ist und $I$ nicht homogen ist.

Im Übrigen scheint es mir, dass meine Vermutung in dem Skript von Nieper-Wißkirchen verwendet wird. Im Beweis zu Lemma 14.3.3 heißt es »Dann ist $U$ ein offenes Unterschema von $X$, welches $\IG_m$-invariant ist. Es folgt, dass das dieses offene Unterschema definierende Ideal $I$ invariant unter $\IG_m$ ist. Das ist gleichbedeutend damit, dass $I$ von homogenen Elementen erzeugt wird.« Allerdings ist mir nicht klar, was unter dem Zwischenschritt, dass $I$ invariant unter $\IG_m$ ist, zu verstehen ist. In dem Lemma hat man die zusätzliche Voraussetzung, dass $\sheaf{O}(X)$ eine Einheit, die homogen vom Grad $\neq 0$ ist, enthält. Ändert diese Voraussetzung etwas?
\(\endgroup\)


  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Triceratops
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 4319
Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-01-22 08:28

\(\begingroup\)\(\newcommand{\numberset}{\mathbb} \newcommand{\IN}{\numberset{N}} \newcommand{\IZ}{\numberset{Z}} \newcommand{\IQ}{\numberset{Q}} \newcommand{\IR}{\numberset{R}} \newcommand{\IC}{\numberset{C}} \newcommand{\IH}{\numberset{H}} \newcommand{\IA}{\numberset{A}} \newcommand{\IP}{\numberset{P}} \newcommand{\IF}{\numberset{F}} \newcommand{\IT}{\numberset{T}} \newcommand{\IG}{\numberset{G}} \newcommand{\id}{\mathrm{id}} \newcommand{\ev}{\mathrm{ev}} \newcommand{\pt}{\mathrm{pt}} \newcommand{\Ker}{\operatorname{Ker}} \newcommand{\Opn}{\mathrm{Opn}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Spec}{\mathrm{Spec}} \newcommand{\categoryname}{\mathrm} \newcommand{\Set}{{\categoryname{Set}}} \newcommand{\Mod}{{\categoryname{Mod}}} \newcommand{\Ring}{{\categoryname{Ring}}} \newcommand{\Top}{{\categoryname{Top}}} \newcommand{\Sch}{{\categoryname{Sch}}} \newcommand{\Loc}{{\categoryname{Loc}}} \newcommand{\LRLoc}{\categoryname{LRLoc}} \newcommand{\Sh}{\categoryname{Sh}} \newcommand{\PSh}{\categoryname{PSh}} \newcommand{\Aff}{\categoryname{Aff}} \newcommand{\category}{\mathcal} \newcommand{\sheaf}{\mathcal} \newcommand{\op}{{\mathrm{op}}} \newcommand{\blank}{{-}} \newcommand{\units}{\times} \newcommand{\numberset}{\mathbb} \newcommand{\IN}{\numberset{N}} \newcommand{\IZ}{\numberset{Z}} \newcommand{\IQ}{\numberset{Q}} \newcommand{\IR}{\numberset{R}} \newcommand{\IC}{\numberset{C}} \newcommand{\IH}{\numberset{H}} \newcommand{\IA}{\numberset{A}} \newcommand{\IP}{\numberset{P}} \newcommand{\IF}{\numberset{F}} \newcommand{\IT}{\numberset{T}} \newcommand{\IG}{\numberset{G}} \newcommand{\id}{\mathrm{id}} \newcommand{\ev}{\mathrm{ev}} \newcommand{\pt}{\mathrm{pt}} \newcommand{\Ker}{\operatorname{Ker}} \newcommand{\Opn}{\mathrm{Opn}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Spec}{\mathrm{Spec}} \newcommand{\categoryname}{\mathrm} \newcommand{\Set}{{\categoryname{Set}}} \newcommand{\Mod}{{\categoryname{Mod}}} \newcommand{\Ring}{{\categoryname{Ring}}} \newcommand{\Top}{{\categoryname{Top}}} \newcommand{\Sch}{{\categoryname{Sch}}} \newcommand{\Loc}{{\categoryname{Loc}}} \newcommand{\LRLoc}{\categoryname{LRLoc}} \newcommand{\Sh}{\categoryname{Sh}} \newcommand{\PSh}{\categoryname{PSh}} \newcommand{\Aff}{\categoryname{Aff}} \newcommand{\category}{\mathcal} \newcommand{\sheaf}{\mathcal} \newcommand{\op}{{\mathrm{op}}} \newcommand{\blank}{{-}} \newcommand{\units}{\times}\)
2020-01-22 02:42 - Nichtarchimedes in Beitrag No. 4 schreibt:
Allerdings ist mir nicht klar, was unter dem Zwischenschritt, dass $I$ invariant unter $\IG_m$ ist, zu verstehen ist.

Vielleicht das hier? en.wikipedia.org/wiki/Equivariant_sheaf
Ich rate aber nur.
\(\endgroup\)


  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Nichtarchimedes
Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 30.12.2017
Mitteilungen: 15
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-22 10:29

\(\begingroup\)\(\newcommand{\numberset}{\mathbb} \newcommand{\IN}{\numberset{N}} \newcommand{\IZ}{\numberset{Z}} \newcommand{\IQ}{\numberset{Q}} \newcommand{\IR}{\numberset{R}} \newcommand{\IC}{\numberset{C}} \newcommand{\IH}{\numberset{H}} \newcommand{\IA}{\numberset{A}} \newcommand{\IP}{\numberset{P}} \newcommand{\IF}{\numberset{F}} \newcommand{\IT}{\numberset{T}} \newcommand{\IG}{\numberset{G}} \newcommand{\id}{\mathrm{id}} \newcommand{\ev}{\mathrm{ev}} \newcommand{\pt}{\mathrm{pt}} \newcommand{\Ker}{\operatorname{Ker}} \newcommand{\Opn}{\mathrm{Opn}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Spec}{\mathrm{Spec}} \newcommand{\categoryname}{\mathrm} \newcommand{\Set}{{\categoryname{Set}}} \newcommand{\Mod}{{\categoryname{Mod}}} \newcommand{\Ring}{{\categoryname{Ring}}} \newcommand{\Top}{{\categoryname{Top}}} \newcommand{\Sch}{{\categoryname{Sch}}} \newcommand{\Loc}{{\categoryname{Loc}}} \newcommand{\LRLoc}{\categoryname{LRLoc}} \newcommand{\Sh}{\categoryname{Sh}} \newcommand{\PSh}{\categoryname{PSh}} \newcommand{\Aff}{\categoryname{Aff}} \newcommand{\category}{\mathcal} \newcommand{\sheaf}{\mathcal} \newcommand{\op}{{\mathrm{op}}} \newcommand{\blank}{{-}} \newcommand{\units}{\times}\)
Ah, das ist interessant. Ich habe mir jetzt gerade einmal überlegt, dass die Kategorie der quasi-kohärenten $\IG_m$-äquivarianten Garben auf $X$ äquivalent zur Kategorie der graduierten $\sheaf{O}(X)$-Moduln ist. Allerdings sehe ich jetzt trotzdem nicht, wie ich aus der $\IG_m$-Invarianz von $X_I$ eine $\IG_m$-äquivariante Struktur auf $\assoc{I} \subseteq \sheaf{O}_X$ bekomme. Irgendwie liefe das auch wieder darauf hinaus zu zeigen, dass auch das reduzierte Komplement von $X_I$ invariant unter $\IG_m$ ist. Mir ist also noch immer nicht klar, was an dieser Stelle im Skript gemeint ist. Wenn Du nichts dagegen hast, frage ich einmal auf math.stackexchange nach.
\(\endgroup\)


  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Triceratops
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 4319
Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2020-01-22 11:12


Ich habe nichts dagegen. Ich schlage alternativ vor, Marc zu mailen.



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Nichtarchimedes
Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 30.12.2017
Mitteilungen: 15
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-28 00:42

\(\begingroup\)\(\newcommand{\numberset}{\mathbb} \newcommand{\IN}{\numberset{N}} \newcommand{\IZ}{\numberset{Z}} \newcommand{\IQ}{\numberset{Q}} \newcommand{\IR}{\numberset{R}} \newcommand{\IC}{\numberset{C}} \newcommand{\IH}{\numberset{H}} \newcommand{\IA}{\numberset{A}} \newcommand{\IP}{\numberset{P}} \newcommand{\IF}{\numberset{F}} \newcommand{\IT}{\numberset{T}} \newcommand{\IG}{\numberset{G}} \newcommand{\id}{\mathrm{id}} \newcommand{\ev}{\mathrm{ev}} \newcommand{\pt}{\mathrm{pt}} \newcommand{\Ker}{\operatorname{Ker}} \newcommand{\Opn}{\mathrm{Opn}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Spec}{\mathrm{Spec}} \newcommand{\categoryname}{\mathrm} \newcommand{\Set}{{\categoryname{Set}}} \newcommand{\Mod}{{\categoryname{Mod}}} \newcommand{\Ring}{{\categoryname{Ring}}} \newcommand{\Top}{{\categoryname{Top}}} \newcommand{\Sch}{{\categoryname{Sch}}} \newcommand{\Loc}{{\categoryname{Loc}}} \newcommand{\LRLoc}{\categoryname{LRLoc}} \newcommand{\Sh}{\categoryname{Sh}} \newcommand{\PSh}{\categoryname{PSh}} \newcommand{\Aff}{\categoryname{Aff}} \newcommand{\category}{\mathcal} \newcommand{\sheaf}{\mathcal} \newcommand{\op}{{\mathrm{op}}} \newcommand{\blank}{{-}} \newcommand{\units}{\times} \newcommand{\assoc}{\widetilde}\)
$\newcommand{\tensor}{\otimes}$Ich denke, wenn $X = \Spec(S)$ ein reduziertes Schema von endlichem Typ über einem algebraisch abgeschlossen Körper ist, mit einer $\IG_m$-Wirkung, dann stimmt meine Vermutung aus dem Startpost. Dann ist $\IG_m \times X$ auch reduziert von endlichem Typ. Ist $U \subseteq X$ ein offenes invariantes Unterschema und $Y \subseteq X$ das reduzierte Komplement von $U$, dann ist $Y$ auch wieder reduziert und von endlichem Typ. Um zu zeigen, dass sich die Wirkung von $\IG_m$ auf $Y$ einschränkt, reicht es nach Hilberts Nullstellensatz, $k$-wertige Punkte zu betrachten, aber dann ist klar, dass $Y$ als mengentheoretisches Komplement von $U$ invariant unter $\IG_m$ (bzw. $k^\units$) ist.
\(\endgroup\)


  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Triceratops
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 4319
Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2020-01-28 00:52


Ja. Sieht aus. Geht dann auch für affine Gruppenschemata, oder?



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Nichtarchimedes
Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 30.12.2017
Mitteilungen: 15
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-28 00:54

\(\begingroup\)\(\newcommand{\numberset}{\mathbb} \newcommand{\IN}{\numberset{N}} \newcommand{\IZ}{\numberset{Z}} \newcommand{\IQ}{\numberset{Q}} \newcommand{\IR}{\numberset{R}} \newcommand{\IC}{\numberset{C}} \newcommand{\IH}{\numberset{H}} \newcommand{\IA}{\numberset{A}} \newcommand{\IP}{\numberset{P}} \newcommand{\IF}{\numberset{F}} \newcommand{\IT}{\numberset{T}} \newcommand{\IG}{\numberset{G}} \newcommand{\id}{\mathrm{id}} \newcommand{\ev}{\mathrm{ev}} \newcommand{\pt}{\mathrm{pt}} \newcommand{\Ker}{\operatorname{Ker}} \newcommand{\Opn}{\mathrm{Opn}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Spec}{\mathrm{Spec}} \newcommand{\categoryname}{\mathrm} \newcommand{\Set}{{\categoryname{Set}}} \newcommand{\Mod}{{\categoryname{Mod}}} \newcommand{\Ring}{{\categoryname{Ring}}} \newcommand{\Top}{{\categoryname{Top}}} \newcommand{\Sch}{{\categoryname{Sch}}} \newcommand{\Loc}{{\categoryname{Loc}}} \newcommand{\LRLoc}{\categoryname{LRLoc}} \newcommand{\Sh}{\categoryname{Sh}} \newcommand{\PSh}{\categoryname{PSh}} \newcommand{\Aff}{\categoryname{Aff}} \newcommand{\category}{\mathcal} \newcommand{\sheaf}{\mathcal} \newcommand{\op}{{\mathrm{op}}} \newcommand{\blank}{{-}} \newcommand{\units}{\times} \newcommand{\assoc}{\widetilde}\)
Ich glaube, ich habe benutzt, dass $S[T^{\pm1}]$ wieder reduziert ist.
\(\endgroup\)


  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Nichtarchimedes
Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 30.12.2017
Mitteilungen: 15
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-30 17:11


Die Frage wurde mittlerweile bei MathOverflow geklärt. Das Argument von Will Sawin ist im Nachhinein sehr einleuchtend.



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
geeert
Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 31.12.2019
Mitteilungen: 18
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2020-02-02 21:22

\(\begingroup\)\(\newcommand{\numberset}{\mathbb} \newcommand{\IN}{\numberset{N}} \newcommand{\IZ}{\numberset{Z}} \newcommand{\IQ}{\numberset{Q}} \newcommand{\IR}{\numberset{R}} \newcommand{\IC}{\numberset{C}} \newcommand{\IH}{\numberset{H}} \newcommand{\IA}{\numberset{A}} \newcommand{\IP}{\numberset{P}} \newcommand{\IF}{\numberset{F}} \newcommand{\IT}{\numberset{T}} \newcommand{\IG}{\numberset{G}} \newcommand{\id}{\mathrm{id}} \newcommand{\ev}{\mathrm{ev}} \newcommand{\pt}{\mathrm{pt}} \newcommand{\Ker}{\operatorname{Ker}} \newcommand{\Opn}{\mathrm{Opn}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Spec}{\mathrm{Spec}} \newcommand{\categoryname}{\mathrm} \newcommand{\Set}{{\categoryname{Set}}} \newcommand{\Mod}{{\categoryname{Mod}}} \newcommand{\Ring}{{\categoryname{Ring}}} \newcommand{\Top}{{\categoryname{Top}}} \newcommand{\Sch}{{\categoryname{Sch}}} \newcommand{\Loc}{{\categoryname{Loc}}} \newcommand{\LRLoc}{\categoryname{LRLoc}} \newcommand{\Sh}{\categoryname{Sh}} \newcommand{\PSh}{\categoryname{PSh}} \newcommand{\Aff}{\categoryname{Aff}} \newcommand{\category}{\mathcal} \newcommand{\sheaf}{\mathcal} \newcommand{\op}{{\mathrm{op}}} \newcommand{\blank}{{-}} \newcommand{\units}{\times} \newcommand{\assoc}{\widetilde}\)
eine Verständnisfrage zu deiner Begründung für die Kategorienäquivalenz zwischen affinen Schemata mit $\mathbb{G}_m$-Wirkung und $\IZ$-graduierten Ringen. Du hast geschrieben:

2020-01-13 12:51 - Nichtarchimedes im Themenstart schreibt:
Ist $X$ ein affines Schema mit $\mathbb{G}_m$-Wirkung, dann trägt $O(X)$ eine Graduierung, bei der $f \in O(X)$ homogen vom Grad $n$ ist, wenn $f(tx) = t^nx$ für alle $x \in X(A)$, $t \in \mathbb{G}_m(A)$ gilt.


Hast du womöglich hier $f(tx) = t^n f(x)$ und nicht $f(tx) = t^nx$ gemeint? Kann das sein? $f(tx)$ liegt nach deiner Bescheibung in $\mathbb{A}^1(A)$, hingegen $t^nx \in X(A)$.  
\(\endgroup\)


  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Nichtarchimedes
Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 30.12.2017
Mitteilungen: 15
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-03 18:36

\(\begingroup\)\(\newcommand{\numberset}{\mathbb} \newcommand{\IN}{\numberset{N}} \newcommand{\IZ}{\numberset{Z}} \newcommand{\IQ}{\numberset{Q}} \newcommand{\IR}{\numberset{R}} \newcommand{\IC}{\numberset{C}} \newcommand{\IH}{\numberset{H}} \newcommand{\IA}{\numberset{A}} \newcommand{\IP}{\numberset{P}} \newcommand{\IF}{\numberset{F}} \newcommand{\IT}{\numberset{T}} \newcommand{\IG}{\numberset{G}} \newcommand{\id}{\mathrm{id}} \newcommand{\ev}{\mathrm{ev}} \newcommand{\pt}{\mathrm{pt}} \newcommand{\Ker}{\operatorname{Ker}} \newcommand{\Opn}{\mathrm{Opn}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Spec}{\mathrm{Spec}} \newcommand{\categoryname}{\mathrm} \newcommand{\Set}{{\categoryname{Set}}} \newcommand{\Mod}{{\categoryname{Mod}}} \newcommand{\Ring}{{\categoryname{Ring}}} \newcommand{\Top}{{\categoryname{Top}}} \newcommand{\Sch}{{\categoryname{Sch}}} \newcommand{\Loc}{{\categoryname{Loc}}} \newcommand{\LRLoc}{\categoryname{LRLoc}} \newcommand{\Sh}{\categoryname{Sh}} \newcommand{\PSh}{\categoryname{PSh}} \newcommand{\Aff}{\categoryname{Aff}} \newcommand{\category}{\mathcal} \newcommand{\sheaf}{\mathcal} \newcommand{\op}{{\mathrm{op}}} \newcommand{\blank}{{-}} \newcommand{\units}{\times} \newcommand{\assoc}{\widetilde}\)
Ja, das war ein Tippfehler.

Man kann die homogenen Funktionen übrigens auch so charakterisieren: Die Wirkung $a \colon \IG_m \times X \to X$ korrespondiert zu einem Homomorphismus $a^\ast \colon \sheaf{O}(X) \to \sheaf{O}(\IG_m \times X) \cong \sheaf{O}(X)[T^{\pm 1}]$. Eine Funktion $f \in \sheaf{O}(X)$ ist genau dann homogen vom Grad $n$, wenn $a^\ast(f)$ homogen vom Grad $n$ in $\sheaf{O}(X)[T^{\pm 1}]$ ist, wobei wir diese Algebra bezüglich der $T$-Potenzen graduieren.

Diese Graduierung auf $\sheaf{O}(X)[T^{\pm 1}] \cong \sheaf{O}(\IG_m \times X)$ entspricht der Wirkung von $\IG_m$ auf $\IG_m \times X$, welche durch Multiplikation in der ersten Komponente gegeben ist. Mit dieser Wirkung wird $a \colon \IG_m \times X \to X$ zu einem Morphismus von affinen Schemata mit $\IG_m$-Wirkung.
\(\endgroup\)


  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Nichtarchimedes hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Nichtarchimedes hatte hier bereits selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
Neues Thema [Neues Thema] Antworten [Antworten]    Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2019 by Matroids Matheplanet
This web site was made with PHP-Nuke, a web portal system written in PHP. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]