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Mathematik » Stochastik und Statistik » Welchen Sinn haben Zufallsvariablen ?
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Universität/Hochschule Welchen Sinn haben Zufallsvariablen ?
Pter87
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Dabei seit: 09.11.2018
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-01-14 14:34


Ich weiß nicht ob Zufallsvariablen irgendeinen anderen Zweck verfolgen, als einem sozusagen das Leben etwas leichter zu machen. Im Grunde ist ja sowas wie X = 2 einfach ein Ereignis in meiner Ergebnismenge Omega(X sei ZV auf Omega). Damit ich aber nicht für jedes für mich interessante Ereignis eine Menge aufschreiben muss, definiert man sich einfach ZV mit denen man das Ereignis kompakt aufschreiben kann. Ist das der Sinn der ZV ?



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Diophant
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Dabei seit: 18.01.2019
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Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-01-14 14:42


Hallo,

ein weiterer Aspekt ist der, dass man sich oft gar nicht für die Ergebnismenge des eigentlichen Zufallsexperiments interessiert, sondern für Werte, die man den einzelnen Ergebnissen zuordnet. Insofern haben Zufallsvariablen auch etwas von einer Funktion.

Letztendlich sind sie doch eigentlich eines der unverzichtbaren Grundkonzepte der Stochastik. Das ganze Konzept der Verteilungsfunktionen basiert darauf.


Gruß, Diophant



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pzktupel
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Dabei seit: 02.09.2017
Mitteilungen: 1087
Aus: Thüringen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-01-14 15:03


Bzgl Zufall habe ich auch mal ein Gedankengang. Für Mathematiker vielleicht lächerlich, aber die Frage lautete:

"Gibt es wirklich Zufall ?"

Ein simples Beispiel liefert bekanntlich das Würfeln,aber ist das so ?

Mir kam nämlich der Bezug zur Physik - dem Ursache/Wirkung - Prinzip.

Demnach wäre ein echter Zufall, ein unterschiedlicher Ausgang zum selbigen Zeitpunkt. Da dies nicht möglich ist, basieren alle Ereignisse auf der Ursache/Wirkung. Dem Resultat geht also eine Ursache (Summe aller erdenklichen Einflüsse) vorraus und das Ergebnis ist nunmal nicht anders möglich als es sich präsentiert.

...nur so ein Gedanke



-----------------
Pech in der Liebe , Glück im Verlieren !!!



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Orthonom
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Dabei seit: 02.09.2010
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-01-14 15:16


@pzktupel
In der Quantentheorie kommst Du ohne den "Zufall" nicht aus.

Alles sind Modelle, die dem Menschen erleichtern, sich in der
Wirklichkeit zurechtzufinden. Kein Modell wird letztendlich identisch
mit der Wirklichkeit sein...



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luis52
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Dabei seit: 24.12.2018
Mitteilungen: 63
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-01-14 19:37


Oder, wie es der beruehmte englische Statistiker George Box formulierte: "All models are wrong, but some are useful."



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Kezer
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Dabei seit: 04.10.2013
Mitteilungen: 472
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-01-14 20:07


Naja, letztendlich ist viel in der Mathematik doch „nur“ gute Sprache.

Eine Zufallsvariable $X: \Omega \to \mathbb{R}$ modelliert hierbei Information, die man hat. Deshalb fordert man, dass $X$ messbar bzgl. dem Wahrscheinlichkeitsraum ist. Da wir Information über $X$ haben, ergibt es Sinn, Fragen über $X$ zu beantworten, z.B. wie oft $X = 2$ gilt.

Umgekehrt fängt man so an: Wir wollen bestimmte Fragen über Sachzusammenhalte beantworten. Diese Sachzusammenhalte werden genau durch Funktionen $X : \Omega \to \mathbb{R}$ geliefert. Wir fragen uns, wann man eine sinnvolle Aussage bzgl. $\mathbb{P}$ treffen kann. Die Antwort liefert die Maßtheorie: Hierfür führen wir die Messbarkeit von $X$ ein.

Gerade bei der Martingaltheorie hilft es, obige Interpretation im Kopf zu haben. Hier hat man eine Folge $(X_n)_{n \in \mathbb{N}}$ von Zufallsvariablen, die über immer mehr Information verfügen. Mit gewissen Kompatibilitätsbedingungen liefert das u.a. Modelle für Glücksspiele und gehört zu den wichtigsten Tools aus der modernen Wahrscheinlichkeitstheorie.

Dabei dient eine Zufallsvariable nicht nur dazu, Ereignisse wie $\{X = 2 \}$ aufzuschreiben. Schließlich kann man noch viele weitere interessante Eigenschaften wie den Erwartungswert (oder allgemein $n$-te Momente) berechnen oder unterschiedliche Konvergenzarten prüfen.

Zufallsvariablen gehören zu den wichtigsten Definitionen aus der Wahrscheinlichkeitstheorie.




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The difference between the novice and the master is that the master has failed more times than the novice has tried. ~ Koro-Sensei



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