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Analysis » Stetigkeit » Lipschitz-Stetigkeit
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Universität/Hochschule J Lipschitz-Stetigkeit
Dachprodukt
Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 28.12.2019
Mitteilungen: 13
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-01-14


Liebes Forum,

ich habe folgende Funktion mit \(g,\alpha > 0\) gegeben:
fed-Code einblenden
Man soll nun zeigen, dass f lokal Lipschitz-stetig bezüglich x ist.

Ich bin schon darauf gekommen, dass f nicht stetig differenzierbar ist, da die Ableitung einen Knick bei \( x=0 \) hat.
Also kann ich diesen Weg nicht gehen.

Allerdings bin ich etwas ratlos, es über die Umformung zu beweisen.
Bis jetzt habe ich folgendes:

fed-Code einblenden

Wie komme ich von hier zum Ziel? Oder muss ich da gänzlich anders vorgehen?

Lieben Dank für eure Hilfe.

Gruß
Dachprodukt



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Shaqrament
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 19.06.2019
Mitteilungen: 53
Aus: Bayern
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-01-14


Hallo Dachprodukt,
bist du dir sicher, dass <math>f</math> nicht stetig differenzierbar ist? Ich bin da nämlich anderer Meinung.

Beste Grüße



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Dachprodukt
Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 28.12.2019
Mitteilungen: 13
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-14


Hallo Shaqrament,

jetzt ist es mir auch aufgefallen. Oh man!

Ich schreibe die Ableitung der Vollständigkeit halber nochmal auf. Bitte korrigiert mich, wenn ich falsch liege.

Die Ableitung von f lautet
fed-Code einblenden

Die links- und rechtsseitigen Grenzwerte von f an der Stelle x=0 sind beide 0, also gleich, deshalb ist die Ableitung dort stetig. Überall sonst ist sie auch stetig.

Da f also stetig differenzierbar ist, ist f lokal Lipschitz-stetig bezüglich x.

Soweit richtig?

Mich interessiert trotzdem noch, ob man ohne große Rechnerei über den anderen Weg auf das selbe Ergebnis kommt.

Danke schon mal!

Liebe Grüße
Dachprodukt



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Wally
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.11.2004
Mitteilungen: 8651
Aus: Dortmund, Old Europe
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-01-14

\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Hallo,

direkt geht das auch - zeige, dass die Lipschitzstetigkeit in jedem Intervall <math>[-R,R]</math> erfüllt ist.

Tipp dazu: <math>x|x|-y|y|=x|x|-x|y|+x|y|-y|y|</math>.

Das ist aber immer hintenrum durchs Auge in die Brust, weil man i. allg. auf jedem Intervall eine andere Lipschitzkonstante hat.

Deshalb gibt es zum Glück ja allgemeine Sätze.

Wally
\(\endgroup\)


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Shaqrament
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 19.06.2019
Mitteilungen: 53
Aus: Bayern
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-01-14


Hallo noch einmal Dachprodukt,
bei der Ableitung hast du dich leicht verzettelt. Es müsste
<math>f"(x)</math> <math>
= \begin{cases}
- 2 \alpha x & ,~x \geq 0\\
2 \alpha x & ,~ x<0
\end{cases}
</math>
heißen. Vermutlich nur ein Tippfehler. Und ja, hier existiert in der Tat der Limes <math>\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} f(x) = 0</math>. Die Differenzierbarkeit in der <math>0</math> ist aber nicht zu hundert Prozent trivial. Man erhält sie aus der Berechnung des Grenzwerts
<math>
\displaystyle \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(h) - f(0)}{h} = \displaystyle \lim_{h \rightarrow 0} \frac{h \lvert h \rvert}{h} = \displaystyle \lim_{h \rightarrow 0} \lvert h \rvert = 0.
</math>
Auf <math>\mathbb{R} \setminus \lbrace 0 \rbrace</math> ist die Differenzierbarkeit natürlich sehr wohl trivial.

Beste Grüße



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Dachprodukt
Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 28.12.2019
Mitteilungen: 13
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-14


Hallo und lieben Dank an euch beide für eure Antworten!

Ich werde es mal mit Wallys Tipp probieren.

Und ja das war ein Tippfehler, zwischen Papier und Computer zu wechseln ist nicht immer leicht  eek

Einen schönen Abend noch und danke für die schnelle Hilfe.

Gruß
Dachprodukt



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