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Strukturen und Algebra » Gruppen » Relevanz der Isomorphiesätze
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Universität/Hochschule J Relevanz der Isomorphiesätze
Vercassivelaunos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-01-15

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Hallo Matheplanet,

ich gehe gerade für eine Prüfung die Algebra I durch. In der elementaren Gruppentheorie tauchen natürlich die Isomorphiesätze auf, deren Aussagen und Beweise ich zwar verstehe, aber deren Relevanz sich mir bisher nicht erschließt. Bei welchen Fragestellungen greift man auf diese Sätze zurück? Ich meine mich zu erinnern, dass ich auf den Übungszetteln damals eigentlich immer nur den Homomorphiesatz benutzt habe, um Isomorphien zu zeigen, da meistens schon irgendwelche Homomorphismen vorgegeben waren, auf die man den Satz direkt anwenden konnte. Wann braucht man die Isomorphiesätze? Mich interessiert hier weniger so etwas wie "man kann damit Faktorgruppen kürzen", sondern mehr die Info, wann ich überhaupt in die Lage komme, kürzen zu wollen.

Zur Klarstellung, da die Sätze wohl nicht ganz einheitlich benannt werden, ich meine diese beiden Sätze:

\[G\textrm{ Gruppe, }H\subset G\textrm{ Untergruppe, }N\subset G\textrm{ Normalteiler.}\\
\Rightarrow H/H\cap N\cong HN/N\\
~\\
G\textrm{ Gruppe, }N,H\textrm{ Normalteiler mit }N\subset H\subset G.\\
\Rightarrow (G/N)/(H/N)\cong G/H \]
Viele Grüße
Vercassivelaunos
\(\endgroup\)


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Kezer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-01-15


Hi,

grundsätzlich reicht der Homomorphiesatz eigentlich aus, denn die Isomorphiesätze, die du zitiert hast, folgen sehr schnell aus dem Homomorphiesatz, sodass man aus den spezielleren Isomorphiesätzen kaum etwas gewinnt.

Man kommt aber durchaus in Algebra Vorlesungen immer wieder auf Isomorphien, die genau durch die Isomorphiesätze gebildet werden. Mir fallen aber leider gerade keine gute Beispiele ein, sorry!


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The difference between the novice and the master is that the master has failed more times than the novice has tried. ~ Koro-Sensei



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Vercassivelaunos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-15


Hallo Kezer,

ich hatte ja gehofft, dass es vielleicht einen ähnlichen Einblick gibt, wie beispielsweise in der Analysis zu Mittelwertsatz und Satz von Rolle. Da könnte man ja grundsätzlich auf den Mittelwertsatz verzichten, und stattdessen nur mit dem Satz von Rolle arbeiten indem man immer eine passende Hilfsfunktion definiert, auf die man Rolle anwenden kann. Schneller geht es aber, den Mittelwertsatz zu verwenden, und das für so wichtige Sachverhalte wie Kriterien für Konstanz einer Funktion oder den Monotoniekriterien. Die Isomorphiesätze kommen mir da ähnlich vor: Man kann sich jedes mal einen Hilfshomomorphismus definieren, der dann den gewünschten Isomorphismus induziert. Oder man kann das einmal machen um die Isomorphiesätze zu zeigen, und braucht dann keinen Hilfshomomorphismus mehr. Nur fallen mir in diesem Fall keine wichtigen Sätze ein, wo man diese Zeitersparnis tatsächlich nutzen kann.



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Red_
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Aus: Erde
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-01-15


Hi, es geht nicht nur unbedingt darum, dass man eine Isomorphie hat, sondern auch, dass diese Untergruppen da sogar Normalteiler sind etc. (damit die Ausdrücke wohldefiniert sind). Aber um ehrlich zu sein, die beiden Sätze kommen maximal zwei mal in anderen Vorlesungen zum Vorschein (zumindest bei mir, Galoistheorie/Gruppentheorie/... ist schon ein Jahr her).
Und ich glaube was Kezer meint ist, dass du diese Formeln nicht auswendig lernen sollst, du wirst sie ohnehin vergessen. Es ist wichtig, dass du weißt, dass Sie existieren und wie du sie beweisen kannst. Du wirst ja wohl sehen, wann du den zweiten verwenden musst, das machst du automatisch, wenn du Doppelbrüche hast. Hast du kompliziertere Ausdrücke, könntest du an den ersten Isomorphiesatz denken und schauen, ob der anwendbar ist.

Manchmal muss ein Satz selbst nicht wichtig sein, jedoch die Herangehensweise beim Beweis, wo eventuell neue Methoden auftauchen oder man sieht, wie man sowas formal durchexerziert.
Wirklich oft benutzt man den ''normalen'' Homomorphiesatz in sehr vielen Situationen, wann wirst du schon sehen.
(Hinweis: die Anwendung taucht in natürlicherweise auf.)

Anwendungen der beiden Sätze von dir fallen mir nicht ein, hieran siehst du z.B., dass ich und Kezer kaum relevante Anwendungen davon gesehen haben, die im Gedächtnis hängen bleiben.






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Kezer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-01-15


Wichtig ist das, was Red_ gesagt hat: Die Bedingungen in den Sätzen und die grundsätzliche Idee jeweils.

Weiter sind das zwei Situationen, die öfter vorkommen als andere, deshalb bekommen die einen Namen. Mir gefällt dein Vergleich mit Rolle und Mittelwertsatz. Meinen eigenen Erfahrungen nach, kann man diese Isomorphiesätze aber ein wenig stärker vernachlässigen als den Mittelwertsatz.

Deshalb sind die Isomorphiesätze natürlich:

1) Bei $H/N \cap N \cong HN/N$: Wir wollen eine gewisse Relation rausteilen. Hierfür ist der Normalteiler $N$. (Wenn die Information selbst noch kein Normalteiler ist, nimmt man den erzeugten Normalteiler.) Eventuell interessieren wir uns nicht für die ganze Gruppe(/Ring/...) $G$, sondern nur für eine Untergruppe $H$. Dann gibt uns dieser Satz genau wieder, was passiert, wenn wir aus $H$ die Relation zu $N$ rausdividieren.

2) Bei $(G/N)/(H/N) \cong G/H$: Wir wollen in der gesamten Struktur die Relationen $N$ rausdividieren. Dieser Satz sagt uns genau, wie Quotienten in $G/N$ aussehen.
Diese Situation ist extrem wichtig. Erinnere dich an den Korrespondenzsatz. In der kommutativen Algebra haben wir kaum einen Satz öfter verwendet als den Korrespondenzsatz.

Das sollte dir auch eine Idee geben, wann man diese Sätze verwenden könnte. Mir hilft es zumindest!  😛 Hier naive Beispiele:

1) $G = \mathbb{Z}, \ H = 2 \mathbb{Z}, \ N = 6 \mathbb{Z}$
2) $G = \mathbb{Z}, \ H = 2 \mathbb{Z}, \ N = 6 \mathbb{Z}$






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Vercassivelaunos
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Mitteilungen: 756
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-16

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Das mit dem Korrespondenzsatz hat mich auf diesen Artikel geführt, wo der Zusammenhang zwischen Korrespondenzsatz und 2. Isomorphiesatz erklärt wird. Der Isomorphiesatz scheint dann die Tatsache zu beinhalten, dass es für das Hasse-Diagramm egal ist, ob man erst $N<H$ und dann $H/N$ rausteilt, oder gleich $H$. Die auftretenden Gruppen und Untergruppen sind dann nämlich alle isomorph. Das kommt mir doch wie ein schönes Ergebnis vor.

Also vielen Dank euch beiden!
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Triceratops
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Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2020-01-18


Eine sehr praktische Folgerung aus $H/(H \cap N) \cong HN/N$ ist die Gleichung $\mathrm{ord}(H) \cdot \mathrm{ord}(N) = \mathrm{ord}(H \cap N) \cdot \mathrm{ord}(HN)$. Diese benutzt man relativ oft, wenn man Gruppen $G$ anhand von gegebenen Untergruppen $N,H$ (wobei $N$ normal sei) verstehen möchte, die man etwa aus den Sylowsätzen bekommt. Wenn zum Beispiel $HN=G$ gilt, kennt man sofort die Ordnung vom Durchschnitt. Wenn man daraus dann mit anderen Überlegungen weiter $H \cap N = 1$ folgern kann, ist also $G$ ein semidirektes Produkt $N \rtimes H$, womit man schon sehr viel weiter ist.

Ein konkretes Beispiel für die Anwendung der Kürzungsregel $(G/N)/(H/N) \cong G/H$ (für Normalteiler $N \subseteq H \subseteq G$), die über zyklische Gruppen hinausgeht, ist etwa $G = \langle r,s \rangle$ (freie Gruppe), $N = \langle\langle r^n,s^2,(rs)^2 \rangle\rangle$, $H = \langle\langle r,s^2 \rangle\rangle$. Dann ist also $G/N = \langle r,s : r^n=s^2=(rs)^2 = 1 \rangle$ die Diedergruppe $D_n$, und die Kürzungsregel liefert $D_n / \langle \langle r \rangle\rangle \cong \langle s : s^2=1 \rangle \cong C_2$.

Vom funktoriellen Standpunkt aus ist $(G/N)/(H/N) \cong G/H$ eigentlich trivial (wenn man erst den universellen Quotienten bildet, der $N$ killt und danach den noch universellen Quotienten, der den noch größeren Normalteiler $H$ killt, kann man sich den ersten Schritt sparen). Es ist zudem einfach ein Spezialfall von "Kolimites vertauschen mit Kolimites". Spektakuläre Anwendungen wird es nicht geben. Der Isomorphismus ist ähnlich spannend wie die entsprechende Gleichung für Brüche, aber trotzdem unverzichtbar.



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