Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Berufspenner
Matroids Matheplanet Forum Index » Erfahrungsaustausch » Gedanken zur Vor-Abi-Prüfung
Thema eröffnet 2020-01-15 11:17 von hippias
Druckversion
Druckversion
Antworten
Antworten
Seite 2   [1 2]   2 Seiten
Autor
Kein bestimmter Bereich Gedanken zur Vor-Abi-Prüfung
hippias
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 06.01.2017
Mitteilungen: 255
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.40, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-23


Moin Kuestenkind,
ja, nach dieser Definition ist ein lokales Extremum per Definition ein innerer Punkt. Aber warum sollte man dies fordern? Schlage ich bei Wiki nach oder beispielsweise Heuser: Analysis 1, so wird dies nicht gefordert.
Er schreibt sogar explizit: "Ein globales Extremum ist nat\"urlich erst recht auch ein lokales Extremum."

Da kann ich aus sprachlichen und Vernunft-Gr\"unden nur beipflichten.  Legt man aber die Definition aus Deinem Schulbuch zugrunde, so w\"are ein globales Extremum nicht unbedingt lokal.

Fakt ist: wenn die von Dir gezeigte Definition verwendet wird, dann ist die von mir als falsch kritisierte Aussage in der Abituraufgabe tats\"achlich richtig.

Ich w\"usste aber schon gerne, wie man eine solche Definition rechtfertigt. Insbesondere, da sie von den gebr\"auchlichen (Wiki, Heuser, meine Ana. 1 Vorlesungsmitschrift) abweicht. Ich interessiere mich, ob ich weitere Beispiele f\"ur untereinander abweichende Definitionen von Extremstelle finde.

P.S. Die - bei mir übliche - schlechte Bildqualit\"at m\"oge man mir nachsehen: mir gen\"ugt es, wenn es lesbar ist; es geht ja um keinen offiziellen Anlass.




Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Caban
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 06.09.2018
Mitteilungen: 1238
Aus: Brennpunkt einer Parabel
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.41, eingetragen 2020-09-23


Hallo

Das hat wohl mit der landläufigen Unterscheidung zwischen lokal und global zu tun. Ich denke, dass es damit zu tun haben könnte, das es für den Schüler verwirrend sein könnte, dass ein Maximum lokal und global gleichzietig ist.

Gruß Caban



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Kitaktus
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 11.09.2008
Mitteilungen: 6577
Aus: Niedersachsen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.42, eingetragen 2020-09-23


@hippias: "Bei uns" heißt: In meiner Schulzeit. Frag mich nicht, welches Lehrbuch wir da verwendet haben ...

Ich habe gerade in ein aktuelles Buch geschaut (Elemente der Mathematik, westermann-Verlag, Klasse 11). Die Definition dort ist relativ ähnlich zu der in #39. Demnach sind Randextrema keine _lokalen_ Extrema.

Zu Deinen Einwänden:
"Dann ist ein globales Extremum nicht unbedingt lokales Extremum."
Ja, das ist so. Genauso wie es eine Definition für "Berg(spitze)" gibt und es gleichzeitig sein kann, dass der höchste Punkt eines Landes _keine_ Bergspitze ist (sondern ein Punkt an der Grenze).

"Ich wüsste aber schon gerne, wie man eine solche Definition rechtfertigt."
Zum Beispiel damit, dass man durch diese Definition lokale Extremstellen stetig differenzierbarer Funktionen sehr kompakt charakterisieren kann. Das ist ein zentrales Thema der Schul-Analysis.

Das ist meiner Meinung nach auch der wahrscheinlichste Grund für die Verwendung unterschiedlicher Definitionen. Die Wikipedia, Herr Heuser und deine Ana-1-Mitschrift haben einen allgemeineren Blick auf Funktionen. Da können Definitionsbereiche beliebig unzusammenhängend sein, Funktionen sind i.A. nicht stetig differenzierbar usw.
Die Vorteile der Schuldefinition greifen da im Allgemeinen nicht. Da es dann sowieso keine einfache Charakterisierung von lokalen Extremstellen mehr gibt, kann man auch die allgemeinere Definition wählen und sich den Begriff des Randextremas sparen. Womit sich dann wieder der Kreis schließt: In den in der Schule behandelten Fällen ist die Untersuchung des Randes sehr leicht, den Rand gesondert betrachten zu müssen, kostet fast nichts. Erst bei kompexeren Definitionsbereichen und insbesondere höheren Dimensionen werden Randpunkte zu einem Problem.

Definitionen in der Mathematik sind im Wesentlichen _nicht_ einheitlich.
Egal wie vorteilhaft eine alternative Definition erscheinen mag. Aufgaben und Beweise müssen die "gültigen" Definitionen verwenden.

@hippias:
Zum Schluss noch ein (unerbetener) Ratschlag:
Ich weiß nicht, wie Du Deine Kritik tatsächlich vorgetragen hast. Einiges von dem, was Du _hier_ schreibst, kommt relativ hart rüber.
Nehmen wir als Beispiel den Beitrag #27. Da unterstellst Du der Lehrkraft Ignoranz und Unwissenheit. Das einzige, was ich dagegen sehe, ist eine verunglückte Kurzschreibweise für die Aufgabe: "Berechne den Flächeninhalt, den die Funktion $f(x)=...$ im Interval ... mit der x-Achse einschließt.
Hier das Integral-Symbol zu verwenden ist unangebracht, da sind wir uns einig.
Daraus aber abzuleiten, die Lehrkraft wüsste gar nicht, dass es einen Unterschied zwischen vorzeichenlosen Flächeninhalten und dem bestimmten Integral gibt, schießt weit über das Ziel hinaus. Die ganze Anleitung zeigt ja gerade, dass eben nicht stumpf das Integral berechnet wird.

Wenn Du _meine_ Mitarbeiter in dieser Form kritisieren würdest, würde ich Deinem Anliegen mit Sicherheit kein großes Wohlwollen entgegenbringen.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Kuestenkind
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 1808
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.43, eingetragen 2020-09-23


Auch wenn es nach dem letzten Beitrag von Kitaktus eigentlich nichts mehr hinzuzufügen gibt - hier dann noch ein Ausschnitt aus dem didaktisch-methodischen Kommentar zum Lehrbuch:






Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
hippias
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 06.01.2017
Mitteilungen: 255
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.44, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-25


Was soll ich sagen: ich bin richtig erleichtert, dass meine - böse
-Kritik hier durch abweichende Definitionen geklärt werden kann; wenn
ich sie auch nicht schätze. Ich füge aber auch noch die Definition aus
Lambacher Schweizer, einem Standardwerk in SH, an, die mit der
Heuser'schen übereinstimmt - hier muss also noch Überzeugungsarbeit geleistet werden.
Natürlich sind die Authoren nicht konsequent: so schreiben sie "Ein globales Extremum in einer Randstelle von $I$ nennt man Randextremum". Also sind Randextrema per Definition global. In der Skizze jedoch wird das nicht globale $H_{1}$ als Randmaximum bezeichnet!

Wie sieht es denn innerhalb der Lehrerschaft aus: wird die, um nicht
nur mit Heuser zu sprechen, unnatürliche Definition von global und
lokal uneingeschränkt akzeptiert? Immerhin dürfte diese
Schul-Definition ja von der im Studium gelernten abweichen.

Für den Schulunterricht stellt sich mir die Frage, wie das Thema
gelehrt wird. Denn es kann doch spätestens seit der Zentralisierung von
Prüfungen nicht der Willkür der Lehrkraft unterliegen, wie die Begriffe
definiert werden, wie mein Beispiel zeigt.

@Caban
Das hieße wohl eine Aussage wie

Sie ist die beste Rechnerin der Schule, also ist sie die beste
Rechnerin in ihrer Klasse.

nicht als natürlich (Heuser), sondern als verwirrend zu bezeichnen.

@Kitakus
Daß Definitionen in der Mathematik nicht einheitlich sind, gerade bei
solchen grundlegenden Begriffen, deckt sich mit meiner Erfahrung nicht
gut. Es wäre auch nicht im Einklang mit der von Dir geforderten
Verwendung der "gültigen" Definitionen. Gerade deshalb sollte es
möglichst keine Willkür geben.

Der Härte meiner Kritik bin ich mir bewußt - und Dein Ratschlag nicht
unerbeten. Es ist tatsächlich nicht meine Art, aber die Länge und
Vermeidbarkeit der hier gesammelten Fehlleistungen, auch die sich in
direkten Gesprächen mit einigen Lehramtsstudenten offenbarte
Mathematikverständnis, bewegt mich - dezent formuliert.

Meine Ableitung der Unkenntnis des Unterschieds zwischen
vorzeichenlosen Flächeninhalten und dem bestimmten Integral beruht auf
der verwendeten Überschrift und der nachfolgend präsentierten Rechnung.
Die Formulierung der zugehörigen Übungen tut ein übriges. Betrachte ich
den Zettel, kann ich zu keinem anderen Schluss kommen. Vielleicht
beruht die Gleichung
$\int_{1}^{4}−x^2+2x+3dx=|\int_{1}^{3}−x^2+2x+3dx|+|\int_{3}^{4}−x^2+2x+3dx|$
auch auf der Lehrkraft eigenen Definition des Integrals -
Uneinheitlichkeit sei Dank? In einer nicht von dieser Lehrkraft selber
durchgeführten Prüfung wäre die Chance gut damit durchzufallen.

Und man versetzte sich einmal in die Eltern eines so unterrichteten
Kindes. Wenn man so etwas in dem Schulheft des eigenen Kindes sehen
würde, muß man doch das Schlimmste befürchten. Und wenn das Kind sich
nicht an die "Konvention" orientierter Flächeninhalt der Lehrkraft
halten will, dann gibt es eine schlechte Note?





Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Caban
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 06.09.2018
Mitteilungen: 1238
Aus: Brennpunkt einer Parabel
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.45, eingetragen 2020-09-25


Hallo

In der Realtität wird eine Extremstelle oft nicht genau definiert. Die Defintion sind meist eher intuitiv.

Gruß Caban



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Kitaktus
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 11.09.2008
Mitteilungen: 6577
Aus: Niedersachsen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.46, eingetragen 2020-09-25


2020-09-25 08:41 - hippias in Beitrag No. 44 schreibt:
Natürlich sind die Authoren nicht konsequent: so schreiben sie "Ein globales Extremum in einer Randstelle von $I$ nennt man Randextremum". Also sind Randextrema per Definition global.
Hier sieht man, dass Menschen Fehler machen. Findest Du Deine beiden?


Wie sieht es denn innerhalb der Lehrerschaft aus: wird die, um nicht
nur mit Heuser zu sprechen, unnatürliche Definition von global und
lokal uneingeschränkt akzeptiert? Immerhin dürfte diese
Schul-Definition ja von der im Studium gelernten abweichen.
Heuser bezeichnet diese Definition als unnatürlich? Kann man das irgendwo nachlesen?


Daß Definitionen in der Mathematik nicht einheitlich sind, gerade bei
solchen grundlegenden Begriffen, deckt sich mit meiner Erfahrung nicht
gut. Es wäre auch nicht im Einklang mit der von Dir geforderten
Verwendung der "gültigen" Definitionen. Gerade deshalb sollte es
möglichst keine Willkür geben.
Welchen mathematischen Hintergrund hast Du? Ein Studium begonnen? Abgeschlossen?
Ist Dir noch nie aufgefallen, dass unterschiedliche Autoren Begriffe unterschiedlich definieren? Man ist sich nicht mal einig, ob 0 eine natürliche Zahl ist. Ich weiß nicht, wie oft ich in diesem Forum schon geschrieben habe: "Welche Definition für ... verwendet ihr?"
Du schreibst, es sollte keine Willkür geben. Definitionen sind _reinste_ Willkür. Die "gültige" Definition in einem Buch ist genau die, die in dem Buch verwendet wird.
Bei mancher Gelegenheit wünscht man sich mehr Einheitlichkeit, aber voneinander abweichende Definitionen sind nicht per se ein "Fehler". Abweichende Definitionen können z.B. sinnvoll sein, wenn die Autoren einen abweichenden Fokus haben oder abweichende Ziele verfolgen.
Genau das ist hier der Fall. Wenn man sich mit stetig differenzierbaren Funktionen auf Intervallen aus $\IR$ (oder deren endlichen Vereinigungen) beschäftigt, ist es zweckmäßig zwischen lokalen Extrema im Inneren und auf Randpunkten zu unterscheiden. Für beide kann man kompakte notwendige und hinreichende Kriterien angeben, die sich aber voneinander deutlich unterscheiden. Beides in einen Topf zu werfen, nur um dann anschließend doch immer wieder die sprachliche Unterscheidung vollziehen zu müssen, ist nicht hilfreich.


Für den Schulunterricht stellt sich mir die Frage, wie das Thema
gelehrt wird. Denn es kann doch spätestens seit der Zentralisierung von
Prüfungen nicht der Willkür der Lehrkraft unterliegen, wie die Begriffe
definiert werden, wie mein Beispiel zeigt.
Das ist tatsächlich ein Problem, aber kein besonders großes. Prüfungen werden nicht von Roboter-Idioten abgenommen(*). Wenn die Lehrkraft Definition A gelehrt hat, dann wird sie bei der Korrektur auch prüfen können, ob Definition A verwendet wurde. Und geschickterweise stellt man allgemeinere Fragen wie: "An welcher Stelle hat die Funktion ihren größten Funktionswert?" dann ist es völlig egal, welche Definition für "lokales Extremum" gelehrt wurde.
(*) Ankreuztests können da ein echtes Problem werden!


@Caban
Das hieße wohl eine Aussage wie

Sie ist die beste Rechnerin der Schule, also ist sie die beste
Rechnerin in ihrer Klasse.

nicht als natürlich (Heuser), sondern als verwirrend zu bezeichnen.
Das Beispiel ist nicht sehr erhellend, "Klasse" ist (landläufig) immer eine Teilmenge von "Schule". Das Problem entsteht dadurch, dass jede Umgebung eines Randpunktes auch Punkte außerhalb der Menge enthält.
Angenommen, in meiner Klasse (=Umgebung) wären auch Schüler anderer Schulen (was real vorkommt, weil ein Fach z.B. in einer Schule nicht angeboten wird(*)). Dann macht es einen echten Unterschied, ob ich davon spreche, dass ich der beste Schüler meiner Klasse bin, oder davon, dass ich in meiner Klasse der beste Schüler meiner Schule bin.

Was sagst Du denn zu der Problematik: "Der höchste Punkt eines Landes muss gar kein Berg(gipfel) sein." Nach Deiner Argumentation müsste man zwingend die Definition für "Berg" ändern.


... aber die Länge und
Vermeidbarkeit der hier gesammelten Fehlleistungen, auch die sich in
direkten Gesprächen mit einigen Lehramtsstudenten offenbarte
Mathematikverständnis, bewegt mich ...
Da habe ich vollstes Verständnis. Da gibt es sehr viel Verbesserungspotential.
Ich persönlich fand es allerdings als wertvolle Erfahrung, dass Lehrer und Lehrerinnen nicht perfekt sind, obwohl man aufgrund ihrer Rolle das doch von ihnen erwartet.
Ich habe auch die Erfahrung gemacht, dass das keine Besonderheit von Lehrern ist. Mit den Professoren an der Uni ging es mir genauso. Die haben auch Fehler gemacht (und waren auch nicht immer begeistert, wenn man sie darauf hingewiesen hat). Mir selbst ging und geht es genauso.



Vielleicht beruht die Gleichung
$\int_{1}^{4}−x^2+2x+3dx=|\int_{1}^{3}−x^2+2x+3dx|+|\int_{3}^{4}−x^2+2x+3dx|$
auch auf der Lehrkraft eigenen Definition des Integrals -
Uneinheitlichkeit sei Dank? In einer nicht von dieser Lehrkraft selber
durchgeführten Prüfung wäre die Chance gut damit durchzufallen.
Das die Schreibweise Mist ist, müssen wir nicht diskutieren. Aber nur weil jemand $3+4=7\cdot 5 = 35$ schreibt, heißt das nicht, dass er von der Bedeutung des Gleichheitszeichens keine Ahnung hat. Wahrscheinlich rechnet er nur $(3+4)\cdot 5$ aus.


Und man versetzte sich einmal in die Eltern eines so unterrichteten
Kindes. Wenn man so etwas in dem Schulheft des eigenen Kindes sehen
würde, muß man doch das Schlimmste befürchten. Und wenn das Kind sich
nicht an die "Konvention" orientierter Flächeninhalt der Lehrkraft
halten will, dann gibt es eine schlechte Note?
Tja. Meine Eltern sind damit relativ souverän umgegangen. Sie haben daraus eine Lehrstunde für mich gemacht, dass auch wer weiß wie weit über Dir stehende "Respektspersonen" Fehler machen und dass es einiges diplomatisches Geschick bedarf, damit angemessen umzugehen.

Gerade im Moment erlebe ich es wieder, dass es (meist) sinnvoller ist, einen Weg zu verfolgen, der nur halb perfekt ist (und zur anderen Hälfte eben nicht) und Fehler sukzessive zu korrigieren, als ewig nach Perfektion zu suchen und dabei gar nicht voranzukommen.


(*) Eine meiner Mitschülerinnen hat einen Teil ihres Unterrichts in einer Klasse einer anderen Schule verbracht, weil dieser Unterricht für sie in meiner Schule nicht effizient organisiert werden konnte.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.44 begonnen.]



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Seite 2Gehe zur Seite: 1 | 2  
Neues Thema [Neues Thema] Antworten [Antworten]    Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2020 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]