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Lineare Algebra » Eigenwerte » Charakteristisches Polynom einer nilpotenten Matrix bestimmen
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Universität/Hochschule J Charakteristisches Polynom einer nilpotenten Matrix bestimmen
LineareAlgebruh
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-01-16


Guten Abend liebe Community,

Ich bearbeite derzeitig diese Aufgabe:



Definition von Nilpotenz: Eine nxn Matrix A heißt nilpotent, wenn gilt: \(\exists n\in\mathbb{N}\) so dass \(A^n = 0\)
Insbesondere besitzt eine nilpotente Matrix kein Inverses.

Man muss ja das Charakteristische Polynom bestimmen, also:
\( \mathcal{X}_A(\lambda) = det(\lambda I_n - A) \)

Mein Ansatz:
Wenn A eine nilpotente Matrix, dann ist auch PAP^-1 nilpotent. Somit muss die Determinante von (PAP^-1) = 0 sein, da P invbar ist, ist die det(P) ≠ 0, also: det(PAP^-1) = det(P) * det(A) * det(P^-1) = 0 => det(A) = 0. Gut, das wussten wir zwar schon, aber wir können somit A auch darstellen als PBP^-1 mit einer Matrix B, die nicht invbar also Determinante 0 hat. Für dieses B können wir dann doch einfach eine obere Dreiecksmatrix mit Nullen auf der Diagonalen auswählen, oder? Daraus folgt, dass jede Nilpotente Matrix auch als obere Dreiecksmatrix mit Nullen auf der Diagonale dargestellt werden kann. Somit wäre \(det(\lambda I_n - A)\) einfach λ auf der Diagonalen => Das charakteristische Polynom ist λ^n. Würde das so klappen?

Okay. Ich habe mal ein bisschen rumprobiert und die Annahme dass es so eine Matrix B dann geben würde ist vielleicht wahr, hilft aber hier nicht sonderlich weiter. Ich habe einfach mal die Definition von Eigenwerten verwendet, aus der dann nämlich folgt:

\( Ax = \lambda x \implies A^k x = \lambda^k x \implies 0 = \lambda^k x \implies \lambda = 0\)

Also ist 0 der einzige Ew von A



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Vercassivelaunos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-01-16

\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\span}{\operatorname{span}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align*}#1\end{align*}} \newcommand{\ket}[1]{\left\vert#1\right>} \newcommand{\bra}[1]{\left<#1\right\vert} \newcommand{\braket}[2]{\left<#1\middle\vert#2\right>} \newcommand{\braketop}[3]{\left<#1\middle\vert#2\middle\vert#3\right>} \newcommand{\mean}[1]{\left<#1\right>} \newcommand{\lvert}{\left\vert} \newcommand{\rvert}{\right\vert} \newcommand{\lVert}{\left\Vert} \newcommand{\rVert}{\right\Vert}\)
Hallo LineareAlgebruh,

es stimmt zwar, dass nilpotente Matrizen ähnlich zu oberen Dreiecksmatrizen mit nur Nullen auf der Diagonalen sind. Das folgt aber nicht daraus, dass ihre Determinante 0 ist, denn es gibt auch Matrizen mit Determinante 0, für die das nicht gilt, beispielsweise $\operatorname{diag}(1,0)$. Allerdings hat die Jordan-Normalenform einer nilpotenten Matrix genau die gewünschte Form.
Es geht aber auch mit basisunabhängigen Überlegungen: Die Nullstellen des charakteristischen Polynoms sind die Eigenwerte der Matrix. Welche Eigenwerte kann denn eine nilpotente Matrix haben?

Viele Grüße
Vercassivelaunos
\(\endgroup\)


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LineareAlgebruh
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-16


Hallo Vercassivelaunos,

Ich habe zur meiner Frage unten noch eine Kleinigkeit hinzugefügt, wieso der einzige Ew nur 0 sein kann.
Also ist 0 der einzige Ew von A, also muss das charakteristische Polynom aussehen wie (λ-0)^a, jetzt muss aber noch irgendwie gezeigt werden, dass dieses a gleich n ist. Wie kann man das anstellen?



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qzwru
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-01-16


(2020-01-16 22:51 - LineareAlgebruh in <a href=viewtopic.php?
Also ist 0 der einzige Ew von A, also muss das charakteristische Polynom aussehen wie (λ-0)^a, jetzt muss aber noch irgendwie gezeigt werden, dass dieses a gleich n ist. Wie kann man das anstellen?

Warum? Ich schätze mal, dass $K$ ein beliebiger Körper sein soll.
Das charakteristische Polynom einer $n\times n$ Matrix hat immer den Grad $n$.

Die Aufgabe lässt sich ganz gut mit dem Satz von Cayley-Hamilton lösen.



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LineareAlgebruh
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-16


Ooooh, ja das macht das ganze sehr viel einfacher, vielen Dank! ^^



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