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Analysis » Stetigkeit » Gleichmäßige Stetigkeit von f(x) = 1/x²
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Universität/Hochschule Gleichmäßige Stetigkeit von f(x) = 1/x²
raede
Ehemals Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 13.10.2019
Mitteilungen: 133
  Themenstart: 2020-01-18

Hallo zusammen Ich habe versucht bei folgender Aufgabe die gleichmässige Stetigkeit zu beweisen. https://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/52063_aufgabe2.PNG Jedoch ist gem. Lösung die Funktion nicht stetig. Ich sehe nicht, wo ich bei meinen Umformungen Fehler gemacht habe. Vielen Dank.


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zippy
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Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 2948
  Beitrag No.1, eingetragen 2020-01-18

\quoteon(2020-01-18 11:45 - raede im Themenstart) Ich sehe nicht, wo ich bei meinen Umformungen Fehler gemacht habe. \quoteoff Deine Abschätzung geht davon aus, dass $t\mapsto 1/t$ auf $(0,\infty)$ monoton steigend ist. --zippy


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Diophant
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Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 8038
Wohnort: Rosenfeld, BW
  Beitrag No.2, eingetragen 2020-01-18

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\) Hallo raede, die folgende Abschätzung ist falsch: \[\frac{|y-x||y+x|}{x^2y^2}\le\frac{10|y-x|}{625}\] Zwar kannst du im Zähler die Summe \(x+y\) nach oben gegen 10 abschätzen, im Nenner müsstest dazu aber x und y ihr Minimum annehmen lassen. Also kann eine solche Abschätzung in diesem Fall nicht gelingen (du würdest sonst ja durch Null dividieren). Gruß, Diophant [Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.] [Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Stetigkeit' von Diophant]\(\endgroup\)


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raede
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Dabei seit: 13.10.2019
Mitteilungen: 133
  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-18

Danke, das macht jetzt Sinn!


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Kezer
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 04.10.2013
Mitteilungen: 1553
  Beitrag No.4, eingetragen 2020-01-18

Tipp für eine Lösung ohne Rechnung: Stetige Funktionen auf kompakten Mengen sind gleichmäßig stetig.


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zippy
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Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 2948
  Beitrag No.5, eingetragen 2020-01-18

\quoteon(2020-01-18 13:06 - Kezer in Beitrag No. 4) Tipp für eine Lösung ohne Rechnung: Stetige Funktionen auf kompakten Mengen sind gleichmäßig stetig. \quoteoff Das offene Intervall $(0,5)$ ist nicht kompakt. Was soll dieser Satz also nützen?


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Kezer
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 04.10.2013
Mitteilungen: 1553
  Beitrag No.6, eingetragen 2020-01-18

Hm sorry. Habe mich verlesen, dachte irgendwie das Intervall wäre $(0.5, 1)$.


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