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Physik » Mathematische Physik » Fock-Raum
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Universität/Hochschule J Fock-Raum
FibreBundle
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-01-18


Wenn mit dem Fock-Raum nichtlineare Wechselwirkungen (Vielteilchensysteme) beschrieben werden sollen, wieso geht man dann von einer Einzelteilchen-Funktion $\phi_{\alpha}$ aus?

Deckt man, indem man direkte Produkte und Linearkombinationen macht, alle Möglichkeiten ab?

$\psi_N=\sum_{\alpha_1, \alpha_2,...,\alpha_N}C(\alpha_1,...,\alpha_N)\phi_{\alpha_1}\phi_{\alpha_2}\phi_{\alpha_3}....\phi_{\alpha_N}$

Der Rest mit der Symmetrisierung und den Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren ist wieder eine andere Sache.



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Tirpitz
Senior Letzter Besuch: im letzten Monat
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-01-18


Hallo!

>> Wenn mit dem Fock-Raum nichtlineare Wechselwirkungen (Vielteilchensysteme) beschrieben werden sollen, wieso geht man dann von einer Einzelteilchen-Funktion ϕα aus?

Wer ist "man"? Es gibt durchaus auch korrelierte Basen.
In so einer Produktbasis sind aber z.B. die Einteilchenoperatoren oft recht trivial/dünnbesetzt oder sogar diagonal. Außerdem kennt man diese Funktionen sehr gut.


>>  Deckt man, indem man direkte Produkte und Linearkombinationen macht, alle Möglichkeiten ab?

Falls du damit meinst, dass diese Basis vollständig ist, dann ja. Und es dürfte auch gar nicht so einfach sein, für eine andere (explizit korrelierte) Basis die Vollständigkeit zu beweisen. Außerdem ist gerade im Fock-Formalismus, wo die Teilchenzahl eine ohnehin sehr volatile Größe ist, die Produktbasis doch sehr naheliegend, da so die Basen der unterschiedlichen N-Teilchen-Untervektorräume strukturell ähnlich sind.



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FibreBundle
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-18


Hallo und Danke für die rasche Antwort!

Mein Fehler: "man" ist in diesem Falle Wolfgang Nolting in seinem Werk "Grunkurs Theoretische Physik 7", 8.Auflage, Nachdruck 2016

Dort steht, zum Beispiel, beim Kapitel kontinuierlicher Fock-Darstellung folgendes:

"... Die erste Aufgabe besteht darin, mithilfe passender Ein-Teilchen-Zustände $|\phi_{\alpha}\rangle$ eine Basis des $H^{(\epsilon)}_N$ zu konstruieren. ..."

Meine Frage bezog sich eigentlich nicht auf den Begriff Vollständigkeit, zumindest habe ich nicht darüber nachgedacht. Soweit ich noch weiß, war das ja, dass jede Cauchy-Folge konvergiert.




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Tirpitz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-01-18


Nun ja, ein guter Grund dürfte sein, dass man ohnehin v.a. Ein- und Zweiteilchenoperatoren betrachtet, wo es nur natürlich ist, sie auch mit Ein- (oder Zwei-)teilchenwellenfunktionen auszuwerten. Wenn du jetzt Zweiteilchenfunktionen nähmest, dann hättest du aber nur gerade Teilchenzahlen in deiner Fock-Basis, es sei denn, du mischst dann auch noch Einteilchenfunktionen ein, aber das ist alles viel zu kompliziert. Warum nicht gleich nur Produkte von Einteilchenfunktionen nehmen?

Bzgl. der Vollständigkeit: Die Vollständigkeit eines Vektorraums ist schon ein anderes Konzept. Meine Ausdrucksweise ist nicht präzise. Ich meine, dass deine Produkte aus Funktionen auch wirklich ein maximales System linear unabhängiger Vektoren bildet, ist keine triviale Aussage. Auf unendlich-dimensionale Hilberträume verallgemeinert heißt das, dass die lineare Hülle der Basisfunktionen dicht im Hilbertraum liegen muss. Bei einfachen Produkten von Funktionen, die im Einteilchenraum schon vollständig waren, ist das garantiert der Fall.



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FibreBundle
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-18


Ups! Da habe ich zwei Konzepte einfach gleichgesetzt: Vollständigkeit bezüglich der Norm (vollständiger Raum) und vollständige Orthonormalbasis.

Ganz glücklich mit der Begründung zu den Produkten von Einteilchen-Zuständen bin ich noch nicht.

Aber solange die Experimente mit den theoretischen Vorhersagen übereinstimmen.




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Tirpitz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-01-18


Hallo!

Das hat mit Experimenten Nichts zu tun. Basen sind keine Observablen und damit ist deren Wahl für Experimente ohne Belang.

>> Ganz glücklich mit der Begründung zu den Produkten von Einteilchen-Zuständen bin ich noch nicht.

Es ist einfach ein sehr erfolgreiches Konzept. Hartree-Fock und darauf aufgesetzt Configuration Interaction funktionieren recht gut, Korrelation in few-body-Problemen zu beschreiben. Du kannst ja mal versuchen, den Fock-Formalismus anders aufzuziehen.

Letztlich wissen wir einfach nicht, wie die Korrelation aussieht, das ist das wesentliche Problem der Many-Body theory.



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FibreBundle
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-19


Den Fock-Formalismus umschreiben will ich nicht, das traue ich mir nicht zu.

Haha, das wäre ein monströses Dissertationsthema: "Neuer Formalismus statt Fock-Formalismus".

Vielleicht macht das jemand anderes. ^^

Ich danke für die raschen Antworten und ich glaube ich werde mich an den Formalismus gewöhnen.

Ich denke mit den Erfolgsbekundungen (Hartree-Fock, Configuration Interaction) ist das Thema positiv erledigt.



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PhysikRabe
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2020-01-19


2020-01-19 14:30 - FibreBundle in Beitrag No. 6 schreibt:
Haha, das wäre ein monströses Dissertationsthema: "Neuer Formalismus statt Fock-Formalismus".

Als kleine Randbemerkung dazu (zumindest für die, die damit etwas anfangen können): So effektiv die Fockraum-Darstellung auch ist, kommt ihr aus physikalischer (insbesondere auch quantenfeldtheoretischer) Sicht keine tiefere, ausgewählte Bedeutung zu. Letztendlich handelt es sich hierbei lediglich um eine nützliche Wahl einer GNS-Darstellung der Observablenalgebra (etwa Weyl-Algebra) der Theorie. Jede andere, unitär äquivalente Darstellung wäre aber - formal gesehen - genauso gut. Die Fockraum-Darstellung ist aber konstruktiv (der Fock-Raum lässt sich explizit auf eine funktorielle Weise konstruieren), physikalisch intuitiv und relativ simpel, das macht sie so erfolgreich.

Grüße,
PhysikRabe


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"Non est ad astra mollis e terris via" - Seneca
"Even logic must give way to physics." - Spock



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