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Mathematik » Stochastik und Statistik » Unabhängigkeit zweier spezieller Zufallsvariablen begründen
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Autor
Universität/Hochschule J Unabhängigkeit zweier spezieller Zufallsvariablen begründen
nabla
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 12.08.2016
Mitteilungen: 45
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-01-19


Hallo zusammen!

Ich habe folgende Frage:

Seien $U,V \subset \mathbb{R}^d$ zwei beschränkte Gebiete mit $U \cap V \neq \emptyset$ und $g : \mathbb{R}^d \rightarrow \mathbb{R}$ eine beschränkt glatte Funktion. $W_t$ sei Brownsche Bewegung mit Startwert $x \in U \cap V$ und $\tau_A$ der erste Austrittszeitpunkt aus $A \subset \mathbb{R}^d$.

Sind die Zufallsvariable $X(\omega) = \textbf{1}_{\{\tau_U < \tau_V\}}(\omega)$ und $Y(\omega)=E^{W_{\tau_U}(\omega)}[\int_{0}^{\tau_V}g(W_s)ds]$ unabhängig?

Ich gebe zu die Frage ist recht speziell und die Zufallsvariablen sehr konstruiert 😁

Intuitiv würde ich sage, dass sie nicht unabhängig sind aber es gelingt mir nicht meine Intuition zu begründen.

Kann mir da jemand helfen?



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nabla
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 12.08.2016
Mitteilungen: 45
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-19


Oder kann zumindest jemand meine Intuition widerlegen oder bestätigen. Ich benötige nicht zwingend einen Beweis... 😵



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Kitaktus
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Dabei seit: 11.09.2008
Mitteilungen: 6232
Aus: Niedersachsen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-01-20


Kannst Du erläutern, welche Bedeutung Y hat. Ich stecke nicht ganz so tief in der Materie, als dass mir die Schreibweise klar wäre.

Ich würde mir Funktionen g anschauen, die überall 0 sind, außer in V\U, wo sie nur positive Werte annimmt.
Ist X=0, verlässt der Weg also erst V und dann U (ggf. gleichzeitig), dann ist das Integral gleich 0. Ist dagegen X=1, verlässt der Weg also erst U und dann V, dann ist das Integral positiv.



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nabla
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 12.08.2016
Mitteilungen: 45
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-20


Hi Kitaktus,

$Y$ funktioniert so, dass über $\omega$ ausgewürfelt wird, wo die Brownsche Bewegung, die im Integral auftaucht, startet. Sie startet nämlich dort, wo eine (vorherige) Brownsche Bewegung (also die im Index vom Erwartungswert), die irgendwo in $U \cap V$ startet, den Rand von $U$ trifft.

Ich bin deinen Hinweis erst mal nur überflogen und schaue gleich mal, ob ich den dafür nutzen kann.




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