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Lineare Algebra » Determinanten » Induktionsbeweis für Determinante
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Universität/Hochschule Induktionsbeweis für Determinante
setuini
Neu Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 19.01.2020
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-01-19


Hallo,

ich habe Schwierigkeiten die Induktionsbehauptung und den Induktionsschritt bei der folgenden Aufgabe aufzustellen und zu lösen.




Den Induktionsanfang habe ich glaube gelöst.



Die Überlegung hierbei ist zu jeder Zeile die (1/x) fache der vorherigen Zeile zu addieren um alle −1 Einträge aufzulösen und die Matrix somit auf Stufenform zu bringen. Bei der Matrix in Stufenform muss dann nur die Diagonale Multipliziert werden um die Determinate zu erhalten.



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Vercassivelaunos
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.02.2019
Mitteilungen: 748
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-01-19


Hallo setuini,

grundsätzlich stimmt dein Induktionsanfang. Wobei du dafür auch direkt die Formel für die Determinante einer 2x2-Matrix hättest benutzen können.
Für den Induktionsschritt empfehle ich den Laplaceschen Entwicklungssatz, statt die Matrix kompliziert umzuformen.

Viele Grüße
Vercassivelaunos



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StrgAltEntf
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Dabei seit: 19.01.2013
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Aus: Milchstraße
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-01-19


Hallo setuini,

willkommen auf dem Matheplaneten!

Beim Induktionsanfang müsstest du den Fall x=0 noch gesondert betrachten, da du bei der Berechnung durch x teilst.

Du kannst natürlich auch die Rechenregel für 2x2-Matrizen anwenden, dann wird es einfacher:
\(det\binom{a\ b}{c\ d}=ad-bc\)

Beim Induktionsschritt würde ich eine Entwicklung nach der ersten Zeile machen.

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]



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setuini
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-19


Danke Vercassivelaunos & StrgAltEntf!

Die Rechenregel für 2x2 Matrix macht das ganze schon mal leichter und schöner.

Beim Induktionsschritt habe ich jetzt mal versucht mit dem Laplaceschen Entwicklungssatz nach der ersten Zeile zu entwickeln.

Dabei bekomme ich dann wiederum 2 Untermatrizen (einmal für x und einmal für a0).
Die entsprechende Matrix für a0 ist schon in Stufenform und die Determinante sollte somit +x oder -x sein.



Stimmt das soweit und wie mache von hier aus weiter?



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Vercassivelaunos
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Dabei seit: 28.02.2019
Mitteilungen: 748
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-01-19

\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\span}{\operatorname{span}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align*}#1\end{align*}} \newcommand{\ket}[1]{\left\vert#1\right>} \newcommand{\bra}[1]{\left<#1\right\vert} \newcommand{\braket}[2]{\left<#1\middle\vert#2\right>} \newcommand{\braketop}[3]{\left<#1\middle\vert#2\middle\vert#3\right>} \newcommand{\mean}[1]{\left<#1\right>} \newcommand{\lvert}{\left\vert} \newcommand{\rvert}{\right\vert} \newcommand{\lVert}{\left\Vert} \newcommand{\rVert}{\right\Vert}\)
Du hast da eine Spalte eingefügt, die nicht zur Matrix dazugehört. Die Spalte $(0~\dots~0~x)$ ist zu viel. Wenn du sie entfernst, dann hat $A_{11}$ gerade eine solche Form, auf die du die Induktionsvoraussetzung anwenden kannst.
\(\endgroup\)


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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-01-19


2020-01-19 17:36 - setuini in Beitrag No. 3 schreibt:
Stimmt das soweit und wie mache von hier aus weiter?

Das stimmt noch nicht. Die Matrix ganz am Anfang für m+1 ist schon nicht richtig.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]



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setuini
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-19


Jetzt ist die Matrix hoffentlich richtig?



Und dann die Induktionsbehauptung angewendet auf fed-Code einblenden und das x in die Klammer hineinmultipliziert. Das wäre ja dann das Ergebnis das ich haben will, linke Seite = rechte Seite? Aber wie löse ich jetzt noch den Teil von fed-Code einblenden auf, wird das nicht zu fed-Code einblenden oder fed-Code einblenden ?




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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2020-01-19


Das sieht schon gut aus.

Du schreibst richtig \(det(A_{1,m+1})=(-1)^m\). Weiter unten dann aber \((-1)^{m+1}\). Dadurch ergibt sich insgesamt ein Vorzeichenfehler beim \(a_0\). Beachte ferner, dass \((-1)^{2m}=1\).

Außerdem hast du die IV falsch angewendet. Statt
\(x\cdot(x^{m+1}+a_mx^m+...+a_1x+a_0)\)
muss dort stehen
\(x\cdot(x^m+a_{m+1}x^{m-1}+...+a_2x+a_1)\)



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setuini
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-19


Nochmal danke Vercassivelaunos & StrgAltEntf, sollte jetzt passen :-)






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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2020-01-19


Bis auf Kleinigkeiten smile

Statt "Induktionsbehauptung" muss es "Induktionsvoraussetzung" heißen und statt "Induktionsschritt" dann "Induktionsbehauptung".

In der vorletzten Zeile geht es dann mit \(x^{m+2}+a_{m+1}x^{m+1}...\) los.



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