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Funktionentheorie » Integration » komplexwertige Kurvenintegrale
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Universität/Hochschule J komplexwertige Kurvenintegrale
shirox
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-01-19


Guten Tag,

Ich hab mal wieder drei Integrale bei denen ich ein wenig Hilfe gebrauchen könnte


Also a) hab ich noch keine richtige Idee
b) da müsste Null rauskommen mit dem Cauchyschen Integralsatz, da alle Bedingungen erfüllt sein müssten
c) Könnte man die Cauchysche Integralformel anwenden, wenn man die Potenz auf den Zähler und Nenner anwendet? Was wäre dann die n-te Ableitung bei zo= 1 ausgewertet? f^(n)(zo)=n!*1 oder ist das Quatsch?

Vielleicht könnt ihr mir ja den ein oder anderen Tipp geben
Vielen Dank!



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-01-19


Hallo,

du musst doch bei allen drei Aufgaben die Kurve betrachten, über welcher du integrierst. Insbesondere kommt dann bei der b) nicht Null raus.



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PhysikRabe
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-01-19


2020-01-19 16:20 - shirox im Themenstart schreibt:
b) da müsste Null rauskommen mit dem Cauchyschen Integralsatz, da alle Bedingungen erfüllt sein müssten

Das kann doch gar nicht sein. Der Integrand besitzt zwei Pole (welche?) innerhalb der betrachteten Kurve $|z|=2$. Der Residuensatz bietet sich zur Berechnung der Integrale an.

Grüße,
PhysikRabe

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]


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"Non est ad astra mollis e terris via" - Seneca
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shirox
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-19


Hm, aber bei b) habe ich doch eine Kreis mit Radius 2 um Null oder nicht? Dachte das wäre eine geschlossene Kurve

Also muss ich die Aufgaben als Kurvenintegral 2 Art lösen, also fed-Code einblenden
das Integral lösen?

Oder kann ich irgendwie Cauchysche Integralformel bzw die Cauysche Integralformel für Ableitungen benutzen?

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]



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shirox
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-19


@PhysikRabe das stimmt natürlich.. danke
Den Residuensatz hatten wir leider nicht da, wir nicht all zu viel Funktionentheorie gemacht haben



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PhysikRabe
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-01-19


"Plot twist": Das Integral bei b) ist trotzdem 0, aber das lässt sich eben nicht über Cauchy-Goursat begründen, da die Voraussetzungen nicht erfüllt sind.  😄

Grüße,
PhysikRabe


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shirox
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-19


oh man ^^
Also wie könnt ich denn dann da vorgehen, ''einfach'' mit der Definition für Kurvenintegrale ?



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Kuestenkind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2020-01-19


Huhu shirox,

du könntest bei b) eine Partialbruchzerlegung machen.

Gruß,

Küstenkind

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.5 begonnen.]



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shirox
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-19


Ich versuche gerade bei der b) diese in einen Partialbruch zu zerlegen, aber bekomme das überhaupt nicht hin, aber weiß auch nicht ob es was bringt trotzdem versteh ich nicht wieso es nicht klappt

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.6 begonnen.]



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Kuestenkind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2020-01-19


Huhu,

hast du denn ein Produkt für \(z^2+1\) gefunden?

Gruß,

Küstenkind



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shirox
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-19


der Ansatz ist doch 1/z^2+1= Ax+b/z^2+1 oder nicht?
also Ax+b =1 und jetzt setze ich für x was ein?

Oh man sorry also habe ich als Ansatz
fed-Code einblenden

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.8 begonnen.]



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Kuestenkind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2020-01-19


Huhu,

ich meinte natürlich eine komplexe Partialbruchzerlegung: \(z^2+1=(z+i)(z-i)\)

Gruß,

Küstenkind



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shirox
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-19


Hab die PZB jetzt endlich  für b)
fed-Code einblenden

jetzt muss ich beide ja noch integrieren..



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Kuestenkind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2020-01-19


Huhu shirox,

die Cauchy-Integralformel kennst du doch hoffentlich aber, oder nicht? Damit kannst du übrigens auch die a) lösen. Ich muss mich nun aber leider erstmal der niederen Schulmathematik widmen und meine Hausaufgaben für morgen machen.

Gruß,

Küstenkind



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shirox
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-19


Doch die kenne ich, ich dachte nur in b) sind dafür nicht alle Bedingungen erfüllt aber dafür muss das Gebiet ja nicht Sternförmig sein, also ist die Polstelle egal denke ich

Vielen Dank, dann versuche ich auch mal die a)

Hat jmd noch ein Tipp für die c) ich versuch es einfach mal wieder mit den Cauysches Integralsatz ich meine die Kurve ist ja ein Kreis mit Mittelpunkt (2,0) und Radius 1/2 also ist die Polstelle 1 ja nicht drin oder?



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Kuestenkind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, eingetragen 2020-01-19


Tipp für c):

Auch das geht wieder mit Cauchy Integralformel:



Gruß,

Küstenkind

edit: PS:

2020-01-19 17:53 - shirox in Beitrag No. 14 schreibt:
Kreis mit Mittelpunkt (2,0) und Radius 1/2 also ist die Polstelle 1 ja nicht drin oder?

Das stimmt nicht.

Du siehst zudem, dass alle 3 Aufgaben die Cauchy-Integralformel auf unterschiedliche Weise nutzen. Ist das nicht toll? Lobe also den Aufgabensteller, dass er dir solch sinnvolle Aufgaben stellt!



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shirox
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-19


ich weiß nicht so ganz wie ich a) umformen kann um die Formel benutzen zu dürfen leider.. kann ich das (iz+1) in den Zähler schreiben und dann ist mein fed-Code einblenden

fed-Code einblenden



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shirox
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-19


oh  |2z-2|=1 ist ja 2|z-1|=1 also |z-1|=1/2 also ein Kreis mit Mittelpunkt (1,0) und dann ist sie natürlich drin

Ja, ich habe auch das Gefühl, dass man an den Aufgaben sehr viel lernen kann nur stelle ich mich noch sehr doof an



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Kuestenkind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.18, eingetragen 2020-01-19


Huhu shirox,

was ist \(|z-2i|=2\) für eine Kontur? Für welche \(z\) wird der Nenner Null?

Gruß,

Küstenkind



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shirox
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.19, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-19


Das ist ja ein Kreis mit Mittelpunkt (0,2)und Radius 2 der Nenner wird für i und 1 Null, dann ist das i ja wieder ein Problem oder nicht da innerhalb des Kreises ?

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.17 begonnen.]



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Kuestenkind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.20, eingetragen 2020-01-19


Huhu,

richtig, \(i\) liegt innerhalb der Kontur. Was ist mit \(1\)?

Gruß,

Küstenkind



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shirox
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.21, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-19


1 liegt außerhalb, also soll ich versuchen es irgendwie aufzuteilen, damit ich endlich das Nutzen kann was ich seit dem erstem Post fälschlicherweise nutzen wollte?

Und nochmal Vielen Dank!



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Kuestenkind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.22, eingetragen 2020-01-19


Huhu,

ich verstehe nicht was du meinst. Dein erster Post war:

2020-01-19 16:20 - shirox im Themenstart schreibt:
Also a) hab ich noch keine richtige Idee

Was meinst du zudem mit "aufteilen"? Es geht darum, eine geeignete Funktion \(f\) zu wählen, sodass du die Cauchy Integralformel benutzen kannst. Hast du dafür nun eine Idee?

Gruß,

Küstenkind



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shirox
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2020-01-19 20:30 - shirox in Beitrag No. 16 schreibt:
ich weiß nicht so ganz wie ich a) umformen kann um die Formel benutzen zu dürfen leider.. kann ich das (iz+1) in den Zähler schreiben und dann ist mein fed-Code einblenden

fed-Code einblenden


Geht das damit nicht und dann ist das Integral (2pi*i)f'(1) oder nicht



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Kuestenkind
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Nein - wie kommst du darauf? Wie lautet die Cauchy Integralformel? Hast du damit schon einmal ein Integral gelöst? Na gut - hier noch mal ein Bild:



Du siehst, eine wesentliche Voraussetzung ist, dass \(f\) analytisch innerhalb der Kontur und auf dem Rand ist. Ist das dein \(f\)? Zudem soll \(z_0\) innerhalb der Kontur liegen. Tut es das bei dir? Wieso schreibst du was von der Ableitung? Mache dir bitte Gedanken zu den Fragen!

Gruß,

Küstenkind



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shirox
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Ich wollte die Cauchy Integralformel für Ableitungen benutzen aber auch da gilt dann ja vermutlich nicht die Vorraussetzung, mich hatte halt der quadratische Term im Nenner dazu verleitet

Wird mein zo=i sein das liegt ja zumindest im Kreis, ich versteh nicht wie ich mir ein f(z) basteln kann was noch was mit dem Integral zu tun hat



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Kuestenkind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.26, eingetragen 2020-01-19


Nun - es ist doch:

\(\displaystyle \frac{\exp\left(\frac{z\pi}{4}\right)}{(iz+1)(z-1)^2}=\frac{\frac{\exp\left(\frac{z\pi}{4}\right)}{(z-1)^2}}{iz+1}=\frac{\frac{\exp\left(\frac{z\pi}{4}\right)}{i(z-1)^2}}{z-i}\)

Hilft dir das?

Gute Nacht,

Küstenkind



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shirox
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Ja, das hilft sehr vielen Dank



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Kuestenkind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.28, eingetragen 2020-01-20


Wunderbar!

Noch 2 Sachen:

1. Anscheinend hattest du ja schon die Idee für c) mit Cauchy Integralformel:

2020-01-19 16:20 - shirox im Themenstart schreibt:
c) Könnte man die Cauchysche Integralformel anwenden, wenn man die Potenz auf den Zähler und Nenner anwendet? Was wäre dann die n-te Ableitung bei zo= 1 ausgewertet? f^(n)(zo)=n!*1 oder ist das Quatsch?

Wenn der Nenner \((z-1)^n\) lautet brauchst du aber nicht die n-te Ableitung, sondern die (n-1)te Ableitung. Siehe dazu nochmal #15. Die n-te Ableitung hast du aber richtig bestimmt - das ist kein Quatsch.

2. Nochmal zu deiner PBZ:

2020-01-19 17:24 - shirox in Beitrag No. 10 schreibt:
der Ansatz ist doch 1/z^2+1= Ax+b/z^2+1 oder nicht?
also Ax+b =1 und jetzt setze ich für x was ein?

Abgesehen von fehlenden Klammern ist dieses natürlich großer Unfug was du geschrieben hast. Einen Ansatz \(Ax+B\) wählen wir, wenn der Nenner ein quadratischer Term ist, der von \(x\) abhängt. Deine Funktion hängt von \(z\) ab - hier würde man nun natürlich \(Az+B\) wählen. Für \(x\) wird doch auch nie was eingesetzt, sondern nur ein Koeffizientenvergleich gemacht. Für unseren Koeffizientenvergleich würde einfach \(A=0\) und \(B=1\) folgen - logisch wenn der Nenner sich nicht ändert.

Gruß,

Küstenkind



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shirox
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.29, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-22


Das mit dem PBZ hatte ich nachträglich noch verbessert, wobei die erste falsche Aussage stehen geblieben ist und die die c) hatte ich dann auch richtig, also mit der (n-1)ten Ableitung nur nicht so kommuniziert, trotzdem nochmal vielen Dank für deine Mühe und Geduld



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