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Moderiert von Buri Gockel
Strukturen und Algebra » Ringe » Lemma zur koordinatenfreien Determinante
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Universität/Hochschule Lemma zur koordinatenfreien Determinante
geeert
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-01-19


Guten Abend,

ich habe da eine Frage zu einem Lemma, das das Thema der koordinatenfreien Darstellungen von "geliebten" Konstruktionen aus LinA wie Det, Spur, Diskriminante usw.  aufgreift und auf diskrete Bewertungsringe verallgemeinert.

Sei $R$ ein diskreter Bewertungsring mit Quotientenkörper $F=Frac(F)$, $A$ eine $R$-Algebra, die ein freier endlicher Modul über $R$ vom Rang $p^n$ ist, mit $p$ prim und $n >0$.

Wir definieren nun koordinatenfrei die Diskriminante bzw genauer das Diskriminantenideal $Dis(A/R)$ auf eine ziemlich verschachtelte Art:

Wir definieren zuerst die bilin Spur-Abbildung

$\tilde{Tr}: A \times A \to R$ durch $(a,b) \mapsto Tr(a \cdot b)$,

wobei mit dem zweiten $Tr$ ohne Tilde wir die gewöhnliche Spur einer linearen Abbildung meinen; hier also des Multiplikations-Endomorphismus $a \cdot b: A \to A, c \mapsto a \cdot b \cdot c$.

Da $A$ frei und endl. erzeugt, können wir $A$ mit seinem Dual $A^{\vee}=Hom_R(A,R)$ identifizieren und erhalten mit weiter aus LinA bekannten Identifizierungen bekannt für Vektorräume

$End(A)=Hom_R(A,A) = Hom_R(A, A^{\vee})=Hom_R(A \otimes_R A, R)=Bil_R(A \times A, R)$.

Damit finden wir ein eindeutiges $f \in End(A)$, das unserem $\tilde{Tr}: A \times A \to R$ von oben entspricht. Dieses $f$ gibt uns die koordinatenfreie Determinante $D:=det(f)$, die bis auf eine Einheit eindeutig folgende lineare Abbildungung festlegt:

$$\Lambda^{p^n}f: \Lambda^{p^n}A \to \Lambda^{p^n}A, a_1 \wedge a_2 \wedge ... \wedge a_{p^n} \mapsto  \\ \Lambda^{p^n}f(a_1 \wedge a_2 \wedge ... \wedge a_{p^n})=D \cdot a_1 \wedge a_2 \wedge ... \wedge a_{p^n}$$


Jetzt können wir endlich die Diskriminante definieren durch $Dis(A/R):= Tr(D \otimes_R D) \subset R$. Das Erzeugnis davon legt ein Ideal $(Dis(A/R)) \cdot R$ fest.

Wir machen einen Basiswechsel $A_F:= A \otimes_R F$, also $A_F =F^{p^n}$ nach unserer Annahme.

Das Lemma besagt:

Angenommen, $p \in R^*$, mit anderen Worten $p$ ist invertierbar in $R$.
In diesem Fall folgt, dass das Diskriminantenideal $(Dis(A/R))$ bereits ausschließlich von $A_F$ abhängt.

Im englischen Wortlaut: "If $p \in R^*$ then the discriminant ideal of $A/R$ depends only on $A_F$. Hat jemand eine Idee was damit gemeint sein könnte? Das wurde in so einem "Schnuppervortrag"  zu $p$-divisiblen Gruppen gesagt und leider habe ich es versäumt nachzufragen. Als Hauptquelle wurde das Tate paper "p-Divisible Groups" angegeben. Da wird dieses Lemma aber nicht verwendet.

EDIT: Wie und auf welche Art diese Abhängigkeit zu stande kommt grübel ich nach wie vor. In einem paper werden ein Paar nützliche Eigenschaften des Dis-Ideals gezeigt: math.stanford.edu/~conrad/676Page/handouts/discexist.pdf

Eine davon ist die verträglichkeit mit Lokalisierungen: also gilt $Dis(A/R) \otimes_R F= Dis(A_F,F)$. Kann ich damit was anfangen? Ich habe zuerst vermutet, dass ich sowas wie $p \in R^* \Rightarrow Dis(A,R) \cdot R$ zeigen könnte. Das finde ich aber strange, weil es so ein Satz gab: $A$ etale $ \Leftrightarrow  Dis(A/R) \cdot R=R$ (= $Dis(A/R)$ Einheitsideal). Wenn das stimmt, dann ist $Dis(A/R)$ in trivialerweise von $Dis(A_F/F)$ "abhängig", aber ich zweifel an der Richtigkeit. Das würde heißen, $p \in R^*$ impliziert $A$ etale.

Letzlich denke ich, dass dieses "the discriminant ideal of $A/R$ depends only on $A_F$ so gemeint ist, dass der Erzeuger von $Dis(A/R)$ von irgendwelchen Invarianten von $A_F$ abhängt, wie genau weiss ich nicht. Gibt es bekannte allgemeine Aussagen zur Struktur des Erzeugers von $Dis(A/R)$, sowas wie der Erzeuger ist eine Potenz von $p$ oder so?

Viele Grüße

geeert



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-01-20


Du hast vergessen, zu erwähnen, dass $A$ auch eine kommutative $R$-Algebra ist, zumal du ja die Multiplikation nutzt (und dass du die Frage schon in einem anderen Forum gestellt hast). Es gilt übrigens $Hom_R(A, A^{\vee})=Hom_R(A \otimes_R A, R)$.



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geeert
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-21


Ja das mit Algebra-Struktur ist wichtig, hab's ergänzt. Auch mit $\tilde{Tr}$ war ich auch etwas lasch. $\tilde{Tr}$ ist erstmal bilinear und liegt in $Bil_R(A \times A, R)$. Das können wir aber mit $End_R(A)$ identifizieren und ein eindeutiges $f \in End(A)$ finden. Hast du mich eigentlich damals in MathOverflow auf das $f$ aufmerksam gemacht um koordinatenfreie Determinantenabbildung auf der äußeren Algebra sinnvoll zu definieren?



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