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Moderiert von Wally haerter
Gewöhnliche DGL » Systeme von DGL » Lineares DGLS erster Ordnung in DGL zweiter Ordnung überführen.
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Universität/Hochschule Lineares DGLS erster Ordnung in DGL zweiter Ordnung überführen.
psyphy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-01-20


Ich beschäftige mich gerade zum ersten Mal mit Differentialgleichungen und versuche eine Aufgabe zu lösen, die danach fragt, welche gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung für $x(t)$ einem System zugrunde liegt, das gegeben ist durch:

$\left(\begin{matrix}\dot u(t)\\\dot v(t)\\ \end{matrix} \right)=\left(\begin{matrix}0&1\\\frac{1}{1-t}&\frac{t}{t-1}\\ \end{matrix} \right)\left(\begin{matrix}u(t)\\v(t)\\ \end{matrix} \right)$

Die Reduktion von Differentialgleichungen höherer Ordnungen durch "Substitution" habe ich, wenn mich nicht alles täuscht, verstanden, und komme so auf: $x''(t)-\frac{1}{1-t}x'(t)-\frac{t}{t-1}x(t)=0$, was durch Reduktion auf

$u=x, v=x'$

$u'=x'=v, v'=x''=\frac{1}{1-t}x'(t)+\frac{t}{t-1}x(t)$

genau zu dem Anfangssystem führt, weshalb ich vorerst denke, dass meine Lösung richtig ist. Jetzt fragt aber die zweite Aufgabe danach, zu zeigen, dass $u(t)=\left(\begin{matrix}e^t\\e^t\\ \end{matrix} \right)$ eine Lösung des Differentialgleichungssystems ist, was ich durch meine Lösung zweiter Ordnung nicht nachvollziehen kann. Kann irgendwer mir einen Tipp geben oder sagen, was ich falsch mache?



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Kuestenkind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-01-20


Huhu psyphy,

kontrolliere zunächst bitte nochmal die Aufgabe. Soll dort nicht vll. \(\left(\begin{matrix}u(t)\\v(t)\\ \end{matrix} \right)\) stehen?

Gruß,

Küstenkind



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psyphy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-20


Hallo Küstenkind,

du hast Recht, habe es korrigiert. Genau deswegen bin ich kein riesiger Fan von der Verwendung von $u$ und $v$. frown



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Kuestenkind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-01-20


Nun - dann lauten deine Gleichungen doch:

\(\displaystyle (1)\quad u'=v\)

\(\displaystyle (2)\quad v'=\frac{1}{1-t}u+\frac{t}{t-1}v\)

Aus (1) folgt \(u''=v'\) und mit einsetzen von (2):

\(\displaystyle (3)\quad u''=\frac{1}{1-t}u+\frac{t}{t-1}v\)

Setzen wir noch (1) ein:

\(\displaystyle (3)\quad u''=\frac{1}{1-t}u+\frac{t}{t-1}u'\)

Gruß,

Küstenkind



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psyphy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-20


Hey,

Ah, dann war das Vertauschen also auch mein genereller Fehler, vielen Dank für die Hilfe. Und wenn ich jetzt zeigen möchte, dass $u(t)=\left(\begin{matrix}e^t\\e^t\\ \end{matrix} \right)$ eine Lösung ist, muss ich dann das Differentialgleichungssystem lösen? Ich wüsste bisher nur, wie man eine Differentialgleichung zweiter Ordnung mit variablen Konstanten löst (Substituieren und dann Integrating Factor-Method), das erscheint mir aber hier sehr kompliziert.

Grüße, psyphy



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Kuestenkind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-01-20


Huhu,

ja, was anderes fällt mir gerade auch nicht ein. Dass \(e^t\) löst kannst du leicht verifizieren durch Einsetzen. Anschließend Reduktion der Ordnung - siehe den Beitrag von Amzoti hier. Die Integrale sind einfach zu lösen. Du solltest dann (modulo Rechenfehler) \(u(t)=c_1e^t-c_2t\) erhalten. Durch differenzieren von (1) dann somit \(v(t)=c_1e^t-c_2\) - und somit \(\vec{x}(t)=c_1\binom{e^t}{e^t}-c_2\binom{t}{1}\). Viel Erfolg!

Gruß,

Küstenkind



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