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Mathematik » Analysis » Vergleich Infimum unterschiedlicher Mengen
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Autor
Universität/Hochschule J Vergleich Infimum unterschiedlicher Mengen
marido
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 21.12.2011
Mitteilungen: 44
Aus: Wien
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-01-20


Ich habe eine Frage ob folgender Schluss zulässig ist:

Sei $X$ eine beliebige Menge, $\mathcal{P}(X)$ die Potenzmenge von $X$, $\mu$:$\mathcal{P}(X) \mapsto [0,\infty]$ und $\nu$:$\mathcal{P}(X) \mapsto [0,\infty]$ Mengenfunktionen mit $\mu(A) \le \nu(A) \; \forall A \in \mathcal{P}(X)$.
Sei $(E_{i,n}), \; i \in I, n \in \mathbb{N}$ eine Familie von Folgen von Mengen mit $E_{i,n} \in \mathcal{P}(X)$.

Laut Voraussetzung gilt ja $\mu(E_{i,n}) \le \mu(E_{i,n})$.

Meine Frage ist, ob der folgende Schluss zulässig ist:
Für jedes  $i \in I$ ist $\sum_{n \ge 1} \mu(E_{i,n}) \le \sum_{n \ge 1} \nu(E_{i,n}) \Rightarrow \inf_i\lbrace \sum_{n \ge 1} \mu(E_{i,n})\; | \; i \in I\rbrace \le \inf_i\lbrace \sum_{n \ge 1} \nu(E_{i,n}) \; | \; i \in I\rbrace$.  




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zippy
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 914
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-01-20


Dieser Schluss läuft auf Folgendes hinaus: Sind $M$ und $N$ Funktionen $I\to[0,\infty]$ mit $M(i)\le N(i)$ für alle $i\in I$, so ist $\inf_{i\in I}M(i)\le\inf_{i\in I}N(i)$.

Und das lässt sich in zwei Schritten zeigen:
1. Da $\inf_{i\in I}M(i)$ eine untere Schranke von $\{M(i):i\in I\}$ ist, gilt $\inf_{i\in I}M(i)\le M(j)\le N(j)$ für alle $j\in I$. Also ist $\inf_{i\in I}M(i)$ auch eine untere Schranke von $\{N(i):i\in I\}$.
2. Da $\inf_{i\in I}N(i)$ die größte untere Schranke von $\{N(i):i\in I\}$ ist, muss $\inf_{i\in I}N(i)\ge\inf_{i\in I}M(i)$ sein.

--zippy



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marido
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 21.12.2011
Mitteilungen: 44
Aus: Wien
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-21


Ok, danke.



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marido hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
marido hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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