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Differentialgleichungen » Partielle DGL » Differenzialgleichungen
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Kein bestimmter Bereich J Differenzialgleichungen
lars_s
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-01-20


gegeben sei das folgende Anfangswertproblem:

\(u_{ tt }(t,x)=u_{ xx }(t,x)+u(t,x)\) für: \((t,x)\in(0,\infty)\times(0,\pi)\)
\(u(t,0)=u(t,\pi)=0\)                  für: \( t\in(0,\infty)\)
\(u(0,x)=0\)                           für: \( x\in(0,\pi)\)
\(u_{ t }(0,x)=sin(x)\)                für: \(x\in(0,\pi)\)

weiß einer, wie man hierbei vorgeht und könnte es mir zeigen?

vielen Dank im voraus ;)



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ochen
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Aus: der Nähe von Schwerin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-01-20


Hallo,

was habt ihr denn dafür gelernt? Hier bietet sich der Separationsansatz an. Das bedeutet, du suchst zunächst eine Lösung der Differentialgleichung der Form $X(x)\cdot T(t)$, die nicht den Randwerten genügen muss. Dann steht da
\[X(x)\cdot T''(t)=X''(x)\cdot T(t)+X(x)\cdot T(t)\] Teile nun durch $X(x)\cdot T(t)$, dann steht auf der linken Seite ein Term, welcher nur von $t$ abhängt und rechts ein Term, der nur von $x$ abhängt. Da beide Terme gleich sind hängt er also weder von $t$ noch von $x$ ab. Er ist konstant und heiße $\mu$. Du erhälst zwei gewöhnliche DGLs, die du separat lösen kannst. Danach sehen wir weiter.



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lars_s
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-26 09:58


vielen dank :)

könnte es sein, dass das Ergebnis

\(u(x,t)=\frac{1}{4}\sin(x)(e^{2t}-e^{-2t}) \)

ist ^^'?



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-01-26 13:45


Hallo,

ich glaube nicht. Wenn ich deine Lösung $u$ zweimal nach $x$ ableite, erhalte ich $-u$, dann wäre die rechte Seite der PDE aber Null :(

Kannst du uns deinen Rechenweg zeigen?



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