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Lineare Algebra » Matrizenrechnung » Elementare Zeilenoperationen
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Universität/Hochschule Elementare Zeilenoperationen
MaxIMP2415
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-01-20


Ich hänge leider an der "Rückrichtung" folgender Äquivalenz schon eine Weile fest:

Seien A,B$in M_{m \times n}(K)$ zwei Matratzen über einen Körper K. Es ist zu zeigen, dass man über elementare Zeilenoperationen A in B verwandeln kann genau dann wenn kerA=kerB.
Es ist bekannt, dass elementare Zeilenoperationen mit Linksmultiplikation von Elementarmatritzen $E_n$ korrespndiert. Mit E bezeichnen wir das Produkt der Elementarmatrizen, die die durchgeführten elementaren Zeilenumformungen repräsentieren.
Es ist also die Äquivalenz zu zeigen: $$ EA=B \Leftrightarrow kerA=kerB$$
$" \Rightarrow "$:
Voraussetzung ist also EA=B. Sei v $\in kerA$. Dann: $$ Av=0 \Rightarrow (EA)v=E(Av)=E0=0$$ also
$$v\in kerA \Rightarrow v \in kerB \Leftrightarrow kerA \subset kerB $$ und da Elementarmatrizen invertierterbar sind, kann man schreiben $E^{-1}B=A$ und erhält das kerB auch eine Teilmenge von kerA ist. Damit gilt die Hinrichtung.
Kann man das so machen?

$" \Leftarrow "$: ?
Hier weiß ich nun nicht wirklich wie ich die Implikation zeigen soll. Meine Idee war:
Man kann jede Matrix durch Elementarumformungen in reduzierte Zeilenstufenform bringen, wobei sich der Kern nicht verändert (haben wir eben gezeigt). Wenn (Behauptung) es zu jedem Kern nur eine reduzierte Zeilenstufenform gibt, dann ist die Implikation gezeigt, da man dann sowohl A als auch B (durch elementare Zeilenoperationen) in die gleiche reduzierte Zeilenstufenform R bringen kann : $$ E_AA=R=E_BB  \Rightarrow E_B^{-1}E_AA=B$$ Doch wie zeigt man, dass es zu jedem Kern nur eine Zeilenstufenform gibt? Stimmt das überhaupt?


Vielen Dank für Eure Hilfe!



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-01-20


Hallo,

zeige, dass Äquivalenz von Matrizen de.m.wikipedia.org/wiki/%C3%84quivalenz_(Matrix) eine Äquivalenzrelation auf $M_{m\times n}$ ist. Überlege dir dann, dass alle Matrizen der gleichen Äquivalenzklasse den gleichen Rang haben, Matrizen unterschiedlicher Äquivalenzklassen unterschiedliche Ränge haben und wie geegnete Repräsentanten aussehen. Zeige dies.

Du bist schon auf dem richtigen Weg.



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MaxIMP2415
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-20


Danke erstmal für den Tipp!
Ich würde eventuell abkürzen (wir sind in der Vorlesung auch noch nicht so weit):
Man kann jede Matrix als Darstellungsmatrix einer Linearen Transformation interpretieren (stimmt das?).
Da A,B $\in M_{n \times m}$ stellen sie eine Transformation von dem $K^m$ in dem $K^n$ dar. Es gilt: $$m= kerA+rgA=kerB+rgB \Leftrightarrow rgA=m-kerA=m-kerB=rgB$$ Also haben die beiden Matritzen auch den gleichen Rang. D.h. das ihr Zeilenraum die gleiche Dimension r hat und die Zeilenvektoren der Matrizen A und B damit ein Erzeugendensystem des $K^r$ darstellen. Durch elementare Zeilenoperationen bleibt der Kern und damit der Rang unverändert, so dass die Zeilenvektoren beider Matrizen in Zeilenstufenform die kanonische Basis des $K^r$ darstellen. Damit ist gezeigt, dass zwei Matritzen mit gleichem Kern die gleiche Zeilenstufenform haben.
Ist das so richtig?

LG



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MaxIMP2415
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-20


ach ne, ist ja nicht die kanonische Basis.

Ich bräuchte nochmal einen Denkanstoß...



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-01-20


Nein, nicht ganz. Der Kern von $A$ ist ein Untervektorraum und keine Zahl. Dass was du schreibst, gilt für die Dimension. Die kann aber für unterschiedliche Räume gleich sein. Sorry, vielleicht habe ich dich in Beitrag 1 doch auf den falschen Weg gebracht.


[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]



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MaxIMP2415
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-20


Vllt statt dem letzten Part einfach: In Zeilenstufenform haben wir linear unabhängige Zeilenvektoren und damit eine Basis des $K^r$. Da die Basis den Raum spannt, kann durch Linearkombination der Basis (d.h. durch linearkombination der Zeilenvektoren - d.h. durch elementare Zeilenoperationen) jede andere Basis des $K^r$ erzeugt werden. Somit sind die beiden Matrizen durch elementare Zeilenoperationen in einander überführbar, da sie in Zeilenstufenform eine Basis desselben Vektorraums darstellen, welche ineinander übergeführt werden können (wieder durch elementare Zeilenoperationen).

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]



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MaxIMP2415
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-20


Hmm ok..



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2020-01-20


Der Punkt ist eher, dass die Zeilenoperationen den Kern nicht verändern.

Sei $ker A=ker B$, weiter seien $\tilde A$ und $\tilde B$ die normierten Zeilenstufenformen von $A$ und $B$, so genügt es uns zu zeigen, dass $\tilde A=\tilde B$ ist. Die normierte Zeilenstufenform ist eindeutig und hat den gleichen Kern wie die ursprüngliche Matrix.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.5 begonnen.]



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MaxIMP2415
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-20


Ja das habe ich verstanden. Aber genau daran hakt es: Die Eindeutigkeit zu zeigen...



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MaxIMP2415
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-20


Vllt so:
$Av=\begin{pmatrix} a_{1_1} && a_{1_2} && ... && a_{1_m} \\ a_{2_1} && a_{2_2} && ... && a_{2_m} \\
... && ... && ... \\ ... && .... && ... && ... \\ a_{n_1} && a_{n_2} && ... && a_{n_m} \end{pmatrix}  \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ ... \\ ... \\ v_m \end{pmatrix} = v_1 \begin{pmatrix} a_{1_1} \\ a_{2_1} \\ ... \\ a_{n_1} \end{pmatrix} + ... + v_m \begin{pmatrix} a_{1_m} \\ a_{2_m} \\ ... \\ a_{n_m} \end{pmatrix}$
Und da in Zeilenstuefenform:
$ v_1 \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ ... \\ 0 \end{pmatrix} + v_ 2 \begin{pmatrix} a_{1_2} \\ 1 \\ 0... \\ 0 \end{pmatrix}  ... + v_m \begin{pmatrix} a_{1_m} \\ a_{2_m} \\ ... \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ ... \\ ... \\ 0 \end{pmatrix} $
Und dann von "unten" argumentieren, dass die Multiplikation immer Null sein muss und die Zeilenstufenform der Matrix immer die gleiche sein muss, wenn Av=0, da von unten her die Einträge der Matrix bestimmt werden.

(Und ich glaube es sind einige (kleine) Verwechselungen aufgetreten, da ich einen Beitrag geschrieben habe, bevor du mit Antworten fertig warst.)



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