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Lineare Algebra » Eigenwerte » Gerschgorinkreise mit Ähnlichkeitstransformationen
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Universität/Hochschule Gerschgorinkreise mit Ähnlichkeitstransformationen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-01-21 13:13


Hallo!

Ich übe gerade für eine LA2 Klausur, und in einer Altklausur wurde folgende Aufgabe gestellt:


Betrachten sie die Matrix:
\[
A = \begin{pmatrix} 4 & 0 & 2\\
 -2 & 8 & 2\\ 0 & 2 & -4 \end{pmatrix}
\]
1) Nutzen sie die Gerschgorinkreise, um zu zeigen, dass $A$ exakt einen Eigenwert mit negativem Realteil hat.

2) Finden sie drei disjunkte Kreisscheiben, sodass in jeder exakt ein Eigenwert ist.

3) Geben sie eine möglichst optimale Annäherung an den größten Eigenwert an.

Hinweise: Nutzen sie für b) und c) die Tatsache, dass $\hat{A} = D^{-1}AD$ mit $D = diag(1,c,1),\; c>0$ die gleichen Eigenwerte wie $A$ hat, und finden sie für c) ein optimales $c$.



Ich hab mich also hingesetzt und $\hat{A} = D^{-1}AD$ ausgerechnet:
\[
\hat{A} = D^{-1}AD = \begin{pmatrix}4 & 0 & 2 \\ -\frac{2}{c} & 8 & \frac{2}{c}  \\ 0 & 2c & -4\end{pmatrix}
\]
Es ergeben sich also die folgenden Kreisscheiben (Mittelpunkt, Radius):
 a) $C_1 = (4, 2)$
 b) $C_2 = (8, \frac{4}{c})$
 c) $C_3 = (-4, 2c)$

Aus $C_3$ folgt direkt Teilaufgabe 1). Für Teilaufgabe 2) dürfen sich die Scheiben $C_1$ und $C_2$ nicht überschneiden, was der Fall für $c > 2$ ist. Auch super.

Ich weiss aber nicht wie ich an die dritte Teilaufgabe drangehen soll. Was ist hier die Strategie? Was genau muss ich eigentlich optimieren?

Vielen Dank!



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Kitaktus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-01-21 15:24


Ich setze mal voraus, dass die Rechnung richtig sind.

Zu 1) hier sollte man ein c angeben, für dass die beiden ersten Kreise komplett in der rechten Halbebene liegen und der dritte Kreis komplett in der linken Halbebene. Wahrscheinlich war Dir klar, dass das für c=1 der Fall ist, aber geschrieben hast Du es nicht, oder?

Für 2) muss man ein bisschen mehr tun. Für sehr große c überschneidet sich der dritte Kreis mit den anderen beiden, die Bedingung c>2 reicht allein also nicht.

Zu 3) Wählst Du c sehr groß, dann wird der dritte Kreis riesig, wählst Du c sehr klein, dann ist es der zweite Kreis. Du musst also c so wählen, dass beide Kreise nicht zu weit nach rechts gehen.



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-21 15:59


Hi Kitaktus,

Die Rechnungen habe ich mit sympy überprüft.

Danke für deine Antwort. In der tat habe ich bei a) und b) in meiner schriftlichen Lösung mehr geschrieben. Ich habe z.B. c=2.1 konkret gewählt und die Kreisscheiben explizit angegeben. Tut mir Leid dass ich das hier nicht genau genug angegeben habe.

Zu c): Ich denke die Idee kann ich verstehen, aber ich weiss leider nicht wie ich daran gehen soll. Könntest du das möglicherweise etwas genauer erklären? :) Kann ich einfach ein $c$ angeben sodass es passt, oder muss ich das analytisch begründen, z.B. in dem ich eine Funktion aufstelle und diese analysiere?



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Kitaktus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-01-21 16:23


Kleiner Tipp:

Wenn Du c vergrößerst, dann wandert das "rechte Ende" des zweiten Kreises nach links, während das rechte Ende des dritten Kreises nach rechts wandert. Du willst, dass beide Enden möglichst weit links liegen.
Man kann sich überlegen, dass dazu beide Kreise am _gleichen_ Punkt enden sollten. Das dafür notwendige c kannst Du dann ausrechnen.

Der erste Kreis spielt bei dem Ansatz keine Rolle, weil er sowieso weiter links liegt als der zweite.



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-21 16:57


Hi,

ich hab das mal so interpretiert, dass die beiden rechten Grenzen gleich sein müssen. Stimmt das?

Wenn ja, dann habe ich folgende Gleichung gelöst:
\[
8 + \frac{4}{c} = -4 + 2c
\] Da kommen dann zwei Lösungen raus:
\[
3\pm\sqrt{11}
\] Von denen natürlich nur $c = 3+\sqrt{11}$ interessant ist, da ja $c > 0$.

Passt das so?



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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten
Kitaktus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-01-22 15:55


Ja, wobei zusätzlich noch nach der Abschätzung gefragt wurde.

Wenn ich so darüber nachdenke ...
Wir haben hier eine Abschätzung des größten Eigenwertes nach oben(!) ermittelt. Man kann ihn genauso nach unten abschätzen.
Dazu muss man c so wählen, dass der zweite Kreis möglichst klein ist, aber sich nicht mit den anderen beiden Kreisen überlappt.

Zur Orientierung der größte Eigenwert ist 8.1711.

Übrigens:
Wenn man in D noch einen zweiten Eintrag variiert, dann kann man mit der Methode den Größten Eigenwert auf den Bereich 7.44 bis 8.47 eingrenzen.



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