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Analysis » Grenzwerte » Regel von l'Hospital Grenzwertberechnung
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Universität/Hochschule Regel von l'Hospital Grenzwertberechnung
Shurian
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-01-21


Hallo leute,

ich sitze jetzt schon ein bisschen an der Berechnung von folgenden Grenzwerten.

(i)  $\lim\limits_{x \to 0} ((1+1/x)^x - e) \cdot x$
(ii) $\lim\limits_{x \to \infty} (1+1/x)^x - e) \cdot x$

Beim ersten hab ich schonmal etwas umgeschrieben:
$$\lim\limits_{x \to 0} ((1+1/x)^x - e) \cdot x = \lim\limits_{x \to 0} \frac{(1+1/x)^x - e}{1/x} = \lim\limits_{x \to 0} \frac{e^{ln(1+1/x) \cdot x} - e}{1/x}$$
Ich bin mir nicht sicher ob hier schon die Regel von L'hospital angewendet werden kann. Beim zweiten Grenzwert hab ich leider keine Ahnung.


Grüße, Shurian





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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-01-21


Hallo,

die erste Frage ist die einfachere, glaube ich. Hier benötigen wir keine Regel von l'Hospital. Was ist $\lim_{x\to 0}(1+1/x)^x$? Nutze, dass die $e$-Funktion stetig ist.

Bei der zweiten Frage wirst du die Regel von l'Hospital benötigen. Welche Voraussetzungen hat sie?



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Shurian
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-21


2020-01-21 16:26 - ochen in Beitrag No. 1 schreibt:
Hallo,

die erste Frage ist die einfachere, glaube ich. Hier benötigen wir keine Regel von l'Hospital. Was ist $\lim_{x\to 0}(1+1/x)^x$? Nutze, dass die $e$-Funktion stetig ist.

Bei der zweiten Frage wirst du die Regel von l'Hospital benötigen. Welche Voraussetzungen hat sie?

Zum ersten: Die e-Funktion ist stetig, d.h für jede Nullfolge $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ konvergiert $e^{x_n}$ gegen $e^0 = 1$. Also ist $\lim_{x\to 0}(1+1/x)^x = 1$.

Zum zweiten: Für 2 differenzierbare Funktionen $f,g$, gilt $\lim_{x\to a} f(x) \to 0$ (bzw. g) oder $\lim_{x\to a} f(x) \to \infty$ (bzw. g) und es existiert der Grenzwert $\lim\limits_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$



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X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-01-21


Es gilt allgemein für jedes $x, a \in \mathbb{R}$ : $a^{x} = (e^{ln(a)})^{x}$.

In unserem Fall gilt also: $\lim_{x \to 0} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{x} = \lim_{x \to 0} \left(e^{ln\left(1 + \frac{1}{x}\right)}\right)^{x} = \lim_{x \to 0} \left(e^{ln\left(1 + \frac{1}{x}\right) \cdot x}\right) =  \left(e^{\lim_{x \to 0} ln\left(1 + \frac{1}{x}\right) \cdot x}\right) = e^{0} = 1$,
wobei im vorvorletzten Gleichheitszeichen die Stetigkeit der e-Funktion benutzt und der Limes in den Exponenten hineingezogen wurde.

Spätestens beim vorletzten Gleichheitszeichen benötigen wir aber doch L‘Hospital, um $\lim_{x \to 0} ln\left(1 + \frac{1}{x}\right) \cdot x$ berechnen zu können? Oder übersehe ich etwas?


Viele Grüße,
X3nion



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