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MartinN
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-01-25 23:40


Hier eine kleine Aufgabe zum bekannten Spiel Quizduell.
Insgesamt gibt es 19 Themengebiete, in jeder Runde wählt man ein Themengebiet aus 3 möglichen aus, ein bereits gewähltes Themengebiet kommt nicht nochmals in die Auswahl, es gibt 6 Runden.

Wie wahrscheinlich ist es, dass in den 6 Runden nur 8 Themengebiete zur Auswahl gestellt wurden?



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Dies ist eine Knobelaufgabe!
Der Themensteller hat bestimmt, dass Du Lösungen oder Beiträge zur Lösung direkt im Forum posten darfst.
Bei dieser Aufgabe kann ein öffentlicher Austausch über Lösungen, Lösungswege und Ansätze erfolgen. Hier musst Du keine private Nachricht schreiben!
JoeM
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-01-26 02:57


Hallo,

ich vermute ....


p = 1 / 8.773.632 ;

Gruß

JoeM



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querin
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-01-26 09:54


Ich komme auf

\[\binom{19}{8}\cdot \prod_{j=0}^5{\frac{\binom{8-j}{3}}{\binom{19-j}{3}}}=\frac1{420784}\]


LG querin



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MartinN
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-26 09:56


Ich hab da ein anderes Ergebnis. ^^

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]

Edit: auch bei querin



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StrgAltEntf
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Aus: Milchstraße
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-01-26 11:12


Hallo,

ich komme auf
1/98182933,3333333




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MartinN
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-26 11:30


Hab ich immernoch was anderes raus - und wüsste nicht, warum die falsch sein soll.
Aber so wie ich das sehe, haben wir hier schon 4 verschiedene 'Lösungen' (vielleicht ist auch meine falsch *grübel*)



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MartinN
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-26 11:49


Okay... Ich weiß jetzt, wie querin auf sein Lösung kommt... Und das klingt auch logisch (vielleicht besser als meine Idee).



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2020-01-26 12:09


Ich habe diese Formel verwendet
\[\prod_{j=1}^5{\frac{17-j}{\binom{19-j}{3}}}\]




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MartinN
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Aus: Bayern
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-26 13:20


Meine Lösung war gewesen:

Man weiß immer, dass am Ende 6 verschiedene Themen gewählt werden, oBdA seien diese {a,b,c,d,e,f}. Von den verblieben 13 Themen wählt man jetzt 2 (diese seien oBdA {g,h}), dafür gibt es \(\binom{13}{2}\) Möglichkeiten.
Da \(\binom{19}{6}\) für die Wahl des 6 gewählten Themen sowohl im Zähler als auch im Nenner auftauchen würden, vernachlässigen wir diese (kürzen sich).

Betrachten wir nun die letzte Runde... da muss neben f noch 2 Themen aus {g,h} zur Wahl gestanden haben: \(\binom{2}{2}\)
In der vorletzten Runde neben e noch 2 Themen aus {f,g,h}: \(\binom{3}{2}\)
usw.

Schränkt man sich nicht auf 8 Themen ein, so gab es in der letzten Runde neben f noch 2 Themen aus den verbliebenen 13: \(\binom{13}{2}\)
In der vorletzten Runde neben e noch 2 Themen aus f und den verbliebenen 13: \(\binom{14}{2}\)
usw.

Dies ergibt bei mir:
\(p = \frac{\binom{13}{2} \binom{7}{2} \binom{6}{2} \binom{5}{2} \binom{4}{2} \binom{3}{2} \binom{2}{2}}{\binom{18}{2} \binom{17}{2} \binom{16}{2} \binom{15}{2} \binom{14}{2} \binom{13}{2}} = \frac{1}{17*17*16*7*13} = 1:420784\)

Upps... ich hatte mich verrechnet xD
Als ich das das erste Mal ausgerechnet hatte, kam ich auf 1:32*3*13*17*17 [da hatte ich versehentlich mit 13*14/2 gekürzt, statt 13*12/2]

Okay, meine und querins Idee kommen zum selben Ergebnis ^^


Gold an querin nachdem ich meine Idee nochmal nachgerechnet hab xD



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2020-01-26 14:13


2020-01-26 13:20 - MartinN in Beitrag No. 8 schreibt:
Okay, meine und querins Idee kommen zum selben Ergebnis ^^

Muss das heißen, dass es dann richtig ist? eek

Ich habe die Idee aber auch nicht ganz verstanden.

Ich würde wie folgt argumentieren.

In der ersten Runde werden drei Themen, sagen wir A, B und C, angeboten, von denen eins, sagen wir C, ausgewählt wird.

Für die zweite Runde gibt es dann noch 18 mögliche Themen, von denen drei ausgewählt werden. Dafür gibt es \(\binom{18}3\) Möglichkeiten. Aber nur bei 16 dieser Möglichkeiten sind wieder A und B dabei und ein zusätzliches Thema, sagen wir D. Die W'keit dafür beträgt also \(\frac{16}{\binom{18}3}\).

In der zweiten Runde wird wieder ein Thema ausgewählt. Welches ist hier belanglos, sagen wir A.

Für die dritte Runde gibt es dann noch 17 mögliche Themen, von denen drei ausgewählt werden. Dafür gibt es \(\binom{17}3\) Möglichkeiten. Aber nur bei 15 dieser Möglichkeiten sind wieder B und D dabei und ein zusätzliches Thema, sagen wir E. Die W'keit dafür beträgt also \(\frac{15}{\binom{17}3}\).

So geht es dann weiter, und man kommt auf das Produkt in Beitrag #4.

Ich würde sagen, das schreit nach einer Simulation wink



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MartinN
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-26 14:32


In der darauffolgenden Runde müssen nicht die nicht-gewählten Themen der letzten Runde dabei sein, es kann auch: (a,b,c) -> (d,e,f) dazu führen, dass am Ende nicht mehr als 8 Themen zur Verfügung standen. Damit hat deine Rechnung schon einen Fehler.

Bsp:
(abc)-a, (def)-d, (bcg)-b, (ceh)-c, (efg)-e, (fgh)-f



Edit:
Und ja, es heißt nicht, dass wenn 2 Leute auf dasselbe Ergebnis kommen (mit unterschiedlicher Berechnung), dass dieses dann richtig ist. Daher frag ich mich ja, wie ihr gerechnet habt oder wenn unsere falsch sind, wo der Fehler liegt ;)



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2020-01-26 15:59


2020-01-26 14:32 - MartinN in Beitrag No. 10 schreibt:
In der darauffolgenden Runde müssen nicht die nicht-gewählten Themen der letzten Runde dabei sein, es kann auch: (a,b,c) -> (d,e,f) dazu führen, dass am Ende nicht mehr als 8 Themen zur Verfügung standen. Damit hat deine Rechnung schon einen Fehler.

O ja, stimmt. Da hatte ich einen Denkfehler.



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MartinN hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
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