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  Untersuchung von Unterräumen |
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caja2000
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Halli Hallo!
Und zwar beschäftige ich mich gerade mit meiner HA, bei der es eine Aufgabe gibt, die mich verwirrt. Und zwar haben wir einen Vektorraum V aller Funktionen f: [-1,1]->\IR über dem Körper (\IR,+,*) versehen mit der punktweise erklärten Operationen (1) (f+g)(x):=f(x)+g(x) und (2) (a*f)(x):=a*f(x) \forall f,g \el V, \forall a \el \IR .
Und nun soll untersucht werden, ob folgende Teilmengen von V auch Unterräume sind:
a) U= {f\el V | f(-1)=f(1)=0}
b) U= {f\el V | f(1)=2}
und dann hab ich angefangen, die Definition anzuwenden und dann hab ich aber gelesen, dass der Nullvektor in dieser Teilmenge sein muss, weil es ansonsten kein Unterraum sein kann. Und jetzt die dumme Frage: Der Nullvektor ist doch gar nicht enthalten oder? Oder lieg ich jetzt komplett daneben und hab da was falsch verstanden?
Ich bin sehr dankbar für jeden Tipp oder Hinweis, der ein bisschen Licht ins Dunkle bringt.
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ligning
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 |      Beitrag No.1, eingetragen 2020-01-26
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Hallo und Willkommen auf dem Matheplaneten!
Was ist denn der Nullvektor in $V$?
[Verschoben aus Forum 'Vektorräume' in Forum 'Vektorräume' von ligning]
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⊗ ⊗ ⊗
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caja2000
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-26
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2020-01-26 12:57 - ligning in Beitrag No. 1 schreibt:
Hallo und Willkommen auf dem Matheplaneten!
Was ist denn der Nullvektor in $V$?
[Verschoben aus Forum 'Vektorräume' in Forum 'Vektorräume' von ligning]
Ich würd jetzt mal behaupten f(0)=0? Weil da der Abstand zum Ursprung gleich 0 ist...
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ligning
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| Beitrag No.3, eingetragen 2020-01-26
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Ich nehme mal an, dass du eigentlich $f(x)=0$ schreiben wolltest. Ja, der Nullvektor ist hier die konstante Nullfunktion, aber das hat nichts mit dem "Abstand" zu tun. Per Definition muss für das Nullelement gelten $0+v = v$ für alle $v\in V$. Wenn man das mit den hier gegebenen punktweisen Operationen ausformuliert, ist das also $f(x) + g(x) = g(x)$ für alle $g\in V$ und alle $x\in[-1,1]$. Damit folgt $f(x) = 0$.
Um von einem "Abstand" zu sprechen, braucht man ein Skalarprodukt.
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caja2000
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-26
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2020-01-26 14:23 - ligning in Beitrag No. 3 schreibt:
Nein, das ist falsch. Also müssen wir wohl noch weiter vorne anfangen. Was sind die Elemente von $V$, und was bedeutet es nach Definition, das Nullelement des Vektorraums $V$ zu sein?
Die Elemente sind die Funktionen die von [-1,1] auf \IR abbilden. Und nach Definition ergibt der Nullvektor mit einem Vektor addiert wieder den Ausgangsvektor. Was das allerdings für diesen Vektorraum bedeutet, keine Ahnung. Es verwirrt mich, dass wir hier Funktionen haben und nicht den "klassischen" \IR^3 Raum
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ligning
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| Beitrag No.5, eingetragen 2020-01-26
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siehe oben, ich hatte nochmal editiert, wohl während du schon geantwortet hast.
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Diophant
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 | Beitrag No.6, eingetragen 2020-01-26
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo caja2000 und herzlich willkommen hier im Forum!
2020-01-26 16:59 - caja2000 in Beitrag No. 4 schreibt:
Die Elemente sind die Funktionen die von [-1,1] auf \IR abbilden. Und nach Definition ergibt der Nullvektor mit einem Vektor addiert wieder den Ausgangsvektor. Was das allerdings für diesen Vektorraum bedeutet, keine Ahnung. Es verwirrt mich, dass wir hier Funktionen haben und nicht den "klassischen" \IR^3 Raum
Die Funktionen nehmen hier die Rolle ein, die du von den Vektoren im \(\IR^3\) gewohnt bist. Das ganze über dem Körper der reellen Zahlen erfüllt dann offensichtlich sämtliche Vektorraumaxiome.
Der Hinweis mit dem Nullvektor war wichtig: denn du musst ja die Teilmengen der Augabenteile a) und b) auf die Unterraumaxiome prüfen. Da gehört dazu, dass der Nullvektor enthalten ist. Und was wird noch gefordert?
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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caja2000
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| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-26
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(2020-01-26 16:59 - caja2000 in <a href=viewtopic.php?
Der Hinweis mit dem Nullvektor war wichtig: denn du musst ja die Teilmengen der Augabenteile a) und b) auf die Unterraumaxiome prüfen. Da gehört dazu, dass der Nullvektor enthalten ist. Und was wird noch gefordert?
Naja es wird noch die Abgeschlossenheit der Vektoraddition gefordert, also für alle Vektoren a, b aus U muss gelten a+b ist auch aus U und dann muss noch die Abgeschlossenheit bzgl. der Skalarmultiplikation gelten, also für jedes Skalar c aus V und jeden Vektor a aus U muss c*a auch wieder aus U sein.
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Diophant
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| Beitrag No.8, eingetragen 2020-01-26
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Hallo,
2020-01-26 18:14 - caja2000 in Beitrag No. 7 schreibt:
Naja es wird noch die Abgeschlossenheit der Vektoraddition gefordert, also für alle Vektoren a, b aus U muss gelten a+b ist auch aus U und dann muss noch die Abgeschlossenheit bzgl. der Skalarmultiplikation gelten, also für jedes Skalar c aus V und jeden Vektor a aus U muss c*a auch wieder aus U sein.
Genau. Und wie sieht das jetzt bspw. bei der a) aus? Und bei der b)?
Beachte bei der a), was da für die Elemente gefordert ist und überlege, ob das für die Summe zweier Elemente oder ein skalares Vielfaches auch noch gilt?
Und bei der b) kannst du dich dann eigentlich auf die Sache mit dem Nullvektor beschränken...
Gruß, Diophant
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caja2000
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| Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-26
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2020-01-26 14:23 - ligning in Beitrag No. 3 schreibt:
Ich nehme mal an, dass du eigentlich  schreiben wolltest. Ja, der Nullvektor ist hier die konstante Nullfunktion, aber das hat nichts mit dem "Abstand" zu tun. Per Definition muss für das Nullelement gelten  für alle  . Wenn man das mit den hier gegebenen punktweisen Operationen ausformuliert, ist das also  für alle  und alle ![<math>x\in[-1,1]</math>](/matheplanet/nuke/html/latexrender/pictures/3fc4488933571bb861da5bf45c51cbc8.png "x\in[-1,1]") . Damit folgt  .
Um von einem "Abstand" zu sprechen, braucht man ein Skalarprodukt.
Also bedeutet das für a) dann, dass wir da den Nullvektor gegeben haben? Das ist ja schließlich die Form f(x)=0 für x=-1 und x=1. Oder bring ich gerade alles durcheinander? Es sieht nur so ähnlich aus... 😵
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.7 begonnen.]
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Diophant
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| Beitrag No.10, eingetragen 2020-01-26
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\on}{\operatorname}\)
2020-01-26 18:24 - caja2000 in Beitrag No. 9 schreibt:
Also bedeutet das für a) dann, dass wir da den Nullvektor gegeben haben? Das ist ja schließlich die Form f(x)=0 für x=-1 und x=1. Oder bring ich gerade alles durcheinander? Es sieht nur so ähnlich aus... 😵
Entscheidend ist hier einzig und allein, dass die Nullfunktion das Kriterium erfüllt (dass nämlich für alle Elemente aus U \(f(\pm 1)=0\) gelten muss).
Und jetzt mache dir klar, dass bei a) auch die Abgeschlossenheit gewährleistet ist. Warum? 😄
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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caja2000
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| Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-26
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Genau. Und wie sieht das jetzt bspw. bei der a) aus? Und bei der b)?
Beachte bei der a), was da für die Elemente gefordert ist und überlege, ob das für die Summe zweier Elemente oder ein skalares Vielfaches auch noch gilt?
Und bei der b) kannst du dich dann eigentlich auf die Sache mit dem Nullvektor beschränken...
also für a) Seien f,g aus U: (f+g)(-1) = f(-1)+g(-1) = f(1)+g(1) = (f+g)(1)
und: sei h aus U und skalares r aus V: (r*h)(-1) = r*h(-1) = r*h(1) = (r+h)(1) und somit auch (r*h) aus U
Bei b) bin ich mir noch nicht ganz sicher, was ich davon halten soll. Nachdem ligning schrieb, dass der Nullvektor f(x)=0 ist, würde ich mich mal aus dem Fenster lehnen und behaupten, dass der in U nicht enthalten ist...
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ligning
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| Beitrag No.12, eingetragen 2020-01-26
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2020-01-26 18:34 - caja2000 in Beitrag No. 11 schreibt:
also für a) Seien f,g aus U: (f+g)(-1) = f(-1)+g(-1) = f(1)+g(1) = (f+g)(1)
und: sei h aus U und skalares r aus V: (r*h)(-1) = r*h(-1) = r*h(1) = (r+h)(1) und somit auch (r*h) aus U Das ist im Prinzip richtig, allerdings hast du nicht die ganze Bedingung geprüft. Für $f\in U$ muss nicht nur $f(1)=f(-1)$ gelten, die beiden Funktionswerte müssen auch gleich $0$ sein.
Und einmal hast "r+h" geschrieben, wo du $r\cdot h$ meinst.
Bei b) bin ich mir noch nicht ganz sicher, was ich davon halten soll. Nachdem ligning schrieb, dass der Nullvektor f(x)=0 ist, würde ich mich mal aus dem Fenster lehnen und behaupten, dass der in U nicht enthalten ist...
Das ist genau richtig.
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caja2000
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| Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-26
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2020-01-26 19:09 - ligning in Beitrag No. 12 schreibt:
2020-01-26 18:34 - caja2000 in Beitrag No. 11 schreibt:
also für a) Seien f,g aus U: (f+g)(-1) = f(-1)+g(-1) = f(1)+g(1) = (f+g)(1)
und: sei h aus U und skalares r aus V: (r*h)(-1) = r*h(-1) = r*h(1) = (r+h)(1) und somit auch (r*h) aus U Das ist im Prinzip richtig, allerdings hast du nicht die ganze Bedingung geprüft. Für $f\in U$ muss nicht nur $f(1)=f(-1)$ gelten, die beiden Funktionswerte müssen auch gleich $0$ sein.
Und einmal hast "r+h" geschrieben, wo du $r\cdot h$ meinst.
Bei b) bin ich mir noch nicht ganz sicher, was ich davon halten soll. Nachdem ligning schrieb, dass der Nullvektor f(x)=0 ist, würde ich mich mal aus dem Fenster lehnen und behaupten, dass der in U nicht enthalten ist...
Das ist genau richtig.
Ah ja genau ^^ Blöder Tippfehler
ja cool, jetzt hab ich die Aufgabe verstanden. Vielen lieben Dank für die freundliche und verständliche Hilfe 😄
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