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Strukturen und Algebra » Moduln » Was ist ein Tensorprodukt?
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Autor
Universität/Hochschule J Was ist ein Tensorprodukt?
Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-01-26 21:19


Ich habe es noch nie verstanden: Was ist ein Tensor, was ist ein Tensorprodukt?

Genauer will ich Folgendes wissen:
- Was ist die wesentliche Idee?
- Was ist die Motivation?
- Wo wird das Konzept konkret benutzt?

Ich habe auch schon gehört, dass das Tensorprodukt eine Konstruktion ist, die es erlaubt, eine bilineare Abbildung $U\times V \to W$ als eine lineare Abbildung $U\otimes V\to W$ aufzufassen. Aber das stellt mich irgendwie nicht zufrieden. Ich verstehe nicht mal, warum man eine bilineare Abbildung als lineare Abbildung auffassen will (die Begründung: "weil wir ja schon viel über lineare Abbildungen wissen" ist mir zu unkonkret), geschweige denn warum bilineare Abbildungen überhaupt interessant sind.

Physiker brauchen ja glaub Tensorprodukte. Sind Tensorprodukte auch für Mathematiker interessant?



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Triceratops
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Dabei seit: 28.04.2016
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Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-01-26 21:28


Die wesentliche Idee wird hier dargestellt: article.php?sid=1515

Ist die Frage "Sind Tensorprodukte auch für Mathematiker interessant?" eigentlich rhetorisch gemeint?

In der Algebra und allen damit verwandten Gebieten sind Tensorprodukte genauso eine "Grundrechenart" wie es etwa in der Zahlentheorie die Multiplikation ganzer Zahlen ist.



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Kezer
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Dabei seit: 04.10.2013
Mitteilungen: 542
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-01-26 21:41


Hi,

ich könnte zwar versuchen zu erklären, was ein Tensorprodukt ist, aber das haben bereits viele vor mir getan. Deshalb schlage ich vor, stattdessen in ein gutes Algebra Buch zu schauen. (Ich sehe auch, dass Triceratops einen großartigen Artikel auf dem MP verlinkt hat.)

Die Verbindung zu bilinearen Abbildung, die du nennst, ist genau die universelle Eigenschaft des Tensorprodukts - und im gewissen Sinne sind die reinen Tensoren die freisten bilinearen Strukturen. D.h. wir wollen mit Objekten $v \otimes w$ rechnen, die sich bilinear verhalten. Wieso man das möchte, siehst du z.B. in Triceratops Artikel. Ich verspreche dir aber, dass das Tensorprodukt überall in der Algebra auftaucht.  wink

Eine Anwendung des Tensorproduktes ist die Komplexifizierung eines Vektorraums. In LA 2 habe ich sehr gerne folgendes Argument verwendet: Ein beliebiger $\mathbb{R}$-Vektorraum kann zu einem $\mathbb{C}$-Vektorraum gemacht werden. Folglich können wir in $\mathbb{C}$ eine Jordan-Normalform von linearen Abbildungen finden.
Wie man es aber genau in $\mathbb{C}$-Vektorraum formen kann, war mir aber nicht klar. Genau deshalb war ich nie ganz zufrieden mit diesem Argument (bzw. insbesondere hatte ein Kumpel von mir auch immer etwas dagegen, dass uns ein wenig Algebra in dem Argument fehlte  razz ).

Soweit ich weiß, sind die Tensorprodukte der Physiker nicht unbedingt das Gleiche wie die Tensorprodukte der Mathematiker. Zumindest nicht auf offensichtliche Art. (Bzw. die Tensoren der Physiker sind spezielle Tensoren.) Hierüber kenne ich mich allerdings nicht aus.
Natürlich sind aber Tensorprodukte für Mathematiker interessant. Wie schon erwähnt, tauchen sie überall in der Algebra auf, aber auch in vielen anderen Gebieten. (Schau wie viele Sachen Wikipedia bereits aufzeigt!)

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]


-----------------
The difference between the novice and the master is that the master has failed more times than the novice has tried. ~ Koro-Sensei



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PhysikRabe
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Aus: Wien
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-01-27 09:05


2020-01-26 21:41 - Kezer in Beitrag No. 2 schreibt:
Soweit ich weiß, sind die Tensorprodukte der Physiker nicht unbedingt das Gleiche wie die Tensorprodukte der Mathematiker. Zumindest nicht auf offensichtliche Art.

Doch, es ist genau das selbe. Aber die meisten Physiker (zumindest außerhalb der theoretischen Physik) wissen kaum etwas über den mathematischen Hintergrund.

Grüße,
PhysikRabe


-----------------
"Non est ad astra mollis e terris via" - Seneca
"Even logic must give way to physics." - Spock



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Triceratops
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Dabei seit: 28.04.2016
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Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-01-30 02:30


Ich wollte hier noch ein ganz einfaches, motivierendes Beispiel hinschreiben:

Wie erhält man die $\IC$-Algebra $M_n(\IC)$ der quadratischen Matrizen über $\IC$ aus der $\IR$-Algebra $M_n(\IR)$ der quadratischen Matrizen über $\IR$?

Antwort: $M_n(\IC) = M_n(\IR) \otimes_{\IR} \IC$



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helmetzer
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Dabei seit: 14.10.2013
Mitteilungen: 1385
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-01-30 11:26


2020-01-26 21:19 - Nichtaristoteles im Themenstart schreibt:
Ich verstehe nicht mal, warum man eine bilineare Abbildung als lineare Abbildung auffassen will (die Begründung: "weil wir ja schon viel über lineare Abbildungen wissen" ist mir zu unkonkret), geschweige denn warum bilineare Abbildungen überhaupt interessant sind.


Die Multiplikation in einem kommutativen Ring \(R\) ist eine \(R\)-bilineare Abb.



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Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-30 18:58


Cooles Beispiel, vielen Dank!

Auch danke für die anderen Beiträge!

2020-01-30 02:30 - Triceratops in Beitrag No. 4 schreibt:
Ich wollte hier noch ein ganz einfaches, motivierendes Beispiel hinschreiben:

Wie erhält man die $\IC$-Algebra $M_n(\IC)$ der quadratischen Matrizen über $\IC$ aus der $\IR$-Algebra $M_n(\IR)$ der quadratischen Matrizen über $\IR$?

Antwort: $M_n(\IC) = M_n(\IR) \otimes_{\IR} \IC$



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