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Differentiation » Differentialrechnung in IR » Reelle Ableitung einer komplexwertigen Funktion
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Universität/Hochschule J Reelle Ableitung einer komplexwertigen Funktion
MaxIMP2415
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-01-26


Ich sitze seit einiger Zeit an folgender Aufgabe:
Sei
$$ f(x):= ln(|x-(a+ib)|)+i*arctan(\frac{x-a}{b}) $$ Zeigen Sie, dass f differenzierter ist und es gilt:
$f'(x)=\frac{1}{x-(a+ib)}$
Ich habe ewig umgeformt, doch komme nicht auf diese Lösung. Meine Schritte waren wie folgt:
$$ \frac{d}{dx}  (ln(|x-(a+ib)|)+i*arctan(\frac{x-a}{b}))=\frac{d}{dx} (\ln(\sqrt{(x-a)^2+b^2)})+i*arctan(\frac{x-a}{b})=
\frac{2(x-a)}{2\sqrt{(x-a)^2+b^2}} * \frac{1}{\sqrt{(x-a)^2+b^2}}+\frac{i}{1+(\frac{x-a}{b})^2}*\frac{1}{b} = \frac{(x-a)}{(x-a)^2+b^2} +\frac{i}{b+\frac{(x-a)^2}{b}}  $$ Doch wie um alles in der Welt soll da diese Ergebnis rauskommen? Kann ich das denn überhaupt so machen wegen dem i oder muss man da irgendwas beachten?

Dann zum Beweis der Differenzierbarkeit: Reicht es dort zu sagen, dass es sich nur um Linearkombination und Komposition differenzierterer Funktionen handelt? Vielen Dank für Eure Hilfe!

LG



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MaxIMP2415
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-27


Kann mir hier einer weiterhelfen?



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MaxIMP2415
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-27


Anyone?



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Math_user
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-01-27


Hallo MaxIMP2415

Ich kann dir zwar nicht mit dem Beweis der Differenzierbarkeit helfen, da bin ich selber noch ein wenig unsicher aber für den ersten Teil, bist du ganz Nahe. Du hast erhalten: $$ \frac{d}{dx}  (ln(|x-(a+ib)|)+i*arctan(\frac{x-a}{b})) = \frac{(x-a)}{(x-a)^2+b^2} +\frac{i}{b+\frac{(x-a)^2}{b}}  =  \frac{x-a+ib}{a^2+b^2+x^2-2ax}$$ Nun gilt aber folgendes: \(a^2+b^2+x^2-2ax=((x-a)+ib)(x-a)-ib)\)
Daraus folgt: \(\frac{x-a+ib}{a^2+b^2+x^2-2ax}=\frac{x-a+ib}{((x-a)+ib)(x-a)-ib)}=\frac{1}{x-(a+ib)}\) gibt.

Ich hoffe ich konnte dir weiterhelfen.
Gruss,
Math_user



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MaxIMP2415
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-27


Ja vielen Dank!



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