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Analysis » Topologie » Abschluss abgeschlossen (ohne Topologie)
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Universität/Hochschule Abschluss abgeschlossen (ohne Topologie)
Math_user
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-01-27


Hallo zusammen

Ich bin bei folgender Aufgabe nicht sicher, ob mein Beweis stimmt.
Sei \(A  \subseteq \mathbb{R}\) eine nicht leere Teilmenge und \(P\) die Menge aller Häfungspunkte von A. Definiere \(\overline{A}:= A \bigcup  P\). Z.z. \(\overline{A}\) ist abgeschlossen.
(Achtung wir haben noch keine Kenntnisse der Topologie. Unsere Definition von abgeschlossen ist: Eine Menge \(A\) ist abgeschlossen wenn für alle Folge \((a_n)\subset A\) gilt: ist \(a_n\) konvergent so ist \(lim_{x \to \infty} \in A\))
Sei \((a_n)\subset A\) eine konvergierende Folge. Wir haben 2 Möglichkeiten, entweder ist \(lim_{x \to \infty} \in A\) oder \(lim_{x \to \infty} \in P\). Aber nach Konstruktion von \(\overline{A}\), folgt \(lim_{x \to \infty} \in \overline{A}\), was aber heisst das \(\overline{A}\) abgeschlossen ist.

Stimmt dieser "einfacher" Beweis oder hat mir jemand einen Tipp?

Vielen Dank und Gruss,
Math_user



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-01-27


Hallo Math_user,

du willst zeigen, dass \(\overline A\) abgeschlossen ist. Deshalb muss du beim Beweis mit einer Folge aus \(\overline A\) (und nicht aus A) starten.



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Math_user
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-27


2020-01-27 15:18 - StrgAltEntf in Beitrag No. 1 schreibt:
Hallo Math_user,

du willst zeigen, dass \(\overline A\) abgeschlossen ist. Deshalb muss du beim Beweis mit einer Folge aus \(\overline A\) (und nicht aus A) starten.

Vielen Dank für deine Antwort. Ich bezweifle jedoch, dass mein Beweis richtig ist wenn ich lediglich ändere: Sei \((a_n) \subset \overline A\)... Hast du mir noch einen Tipp?



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-01-27


2020-01-27 15:25 - Math_user in Beitrag No. 2 schreibt:
Ich bezweifle jedoch, dass mein Beweis richtig ist wenn ich lediglich ändere: Sei \((a_n) \subset \overline A\)... Hast du mir noch einen Tipp?

Prinzipiell schon. Bloß ist der Beweis dann nicht mehr ganz so einfach. eek

Es gilt ja \(P=\{x\in\IR\mid\forall\epsilon>0\exists a\in A\setminus\{x\}:|x-a|<\epsilon\}\).

Mache dir dann klar: \(\overline A=\{x\in\IR\mid\forall\epsilon>0\exists a\in A:|x-a|<\epsilon\}\).

Sei nun \(b=\lim a_n\) mit \(a_n\in\overline A\). Zeige \(b\in \overline A\).



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Math_user
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-28


Ich versuche mal diese verschiedenen Mengen zu verstehen. Ich bin mir aber schon bei der ersten nicht sicher

2020-01-27 22:23 - StrgAltEntf in Beitrag No. 3 schreibt:
Es gilt ja \(P=\{x\in\IR\mid\forall\epsilon>0\exists a\in A\setminus\{x\}:|x-a|<\epsilon\}\).

Habe ich es richtig verstanden, dass z.B. wenn \(A := (0,1)\) ist dann ist \(P:=[0,1]\)?



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Math_user
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-28


Weshalb \(\overline A=\{x\in\IR\mid\forall\epsilon>0\exists a\in A:|x-a|<\epsilon\}\) gilt ist mir klar, wenn ich die Definition von P so hinnehme. (Verstehe sie zwar aber muss mich noch daran gewöhnen)

Sei nun also \(b:=lim_{n\to \infty } a_n\) wobei \((a_n) \subset \overline A\).
Da \(b:=lim_{n\to \infty } a_n \Leftrightarrow \forall \epsilon >0 \:\exists n_0 \in \mathbb{N} s.d. \forall n\geq n_0: |a_n-b|<\epsilon\)
Nun wollen wir herausbekommen \(\forall \epsilon >0 \:\exists a \in \ A: |a-b|<\epsilon\), jedoch sehe ich nicht, wie ich die erhalten soll.



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2020-01-28


2020-01-28 09:42 - Math_user in Beitrag No. 5 schreibt:
Weshalb \(\overline A=\{x\in\IR\mid\forall\epsilon>0\exists a\in A:|x-a|<\epsilon\}\) gilt ist mir klar, wenn ich die Definition von P so hinnehme. (Verstehe sie zwar aber muss mich noch daran gewöhnen)

Du solltest das nicht "so hinnehmen". Wie wurden denn bei euch Häufungspunkte definiert?



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Math_user
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-28


Der Punkt a ist ein Häufungspunkt von D wenn für alle \(\delta >0\) gilt das \(D \cap ((a-\delta,a+\delta)\diagdown {a} \neq \varnothing \).



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2020-01-28


Beide Definitionen sind identisch, nur ein wenig anders aufgeschrieben. Das solltest du dir unbedingt klar machen.



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Math_user
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-28


2020-01-28 13:07 - StrgAltEntf in Beitrag No. 8 schreibt:
Beide Definitionen sind identisch, nur ein wenig anders aufgeschrieben. Das solltest du dir unbedingt klar machen.

Dies werde ich aber kannst du mir bitte mit meinem Ansatz in Beitrag 5 weiterhelfen?



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StrgAltEntf
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In eurer Schreibweise ist also
- a ein Häufungspunkt von A, wenn für alle \(\delta >0\) gilt, dass \(D \cap ((a-\delta,a+\delta)\setminus\{a\}) \neq \emptyset \) und
- a ein Element von \(\overline A\), wenn für alle \(\delta >0\) gilt, dass \(D \cap (a-\delta,a+\delta) \neq \emptyset \)

2020-01-28 09:42 - Math_user in Beitrag No. 5 schreibt:
Sei nun also \(b=\lim_{n\to \infty } a_n\) wobei \((a_n) \subset \overline A\).
Da \(b=\lim_{n\to \infty } a_n \Leftrightarrow \forall \epsilon >0 \:\exists n_0 \in \mathbb{N}\) s. d. \(\forall n\geq n_0: |a_n-b|<\epsilon\).
Nun wollen wir herausbekommen \(\forall \epsilon >0 \:\exists a \in \ A: |a-b|<\epsilon\).

Anschaulich (und schwammig) läuft das wie folgt:
Du suchst Elemente aus A, die beliebig nahe an b herankommen. Die Folge \((a_n)\) besteht ja aus Folgegliedern, die beliebig nahe an b herankommen. Dummerweise müssen die Folgeglieder nicht in A liegen, denn sonst wärst du bereits fertig. Aber: Zu jedem Folgeglied \(a_n\) gibt es ein Element aus \(a_n^*\in A\), das beliebig nahe an das Folgeglied \(a_n\) herankommt. Die Folge \((a_n^*)\subset A\) läuft dann gegen b.

Das muss jetzt formal aufgeschrieben werden. Bekommst du das hin?



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