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Moderiert von Buri Gockel
Strukturen und Algebra » Algebraische Geometrie » Definition von abgeschlossener Immersion
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Autor
Universität/Hochschule J Definition von abgeschlossener Immersion
Saki17
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Dabei seit: 09.09.2015
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Aus: Fernost
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-01-27


Hallo,

ich möchte wissen, ob die folgenden Definitionen über abgeschlossene Immersionen (Abkürzung: abg. Imm.) äquivalent sind:

Sei $f: X\to Y$ ein Morphismus von Schemata, der den topologischen Raum $X$ homöomorph auf eine abg. Teilmenge von $Y$ abbildet. Nun

Def. 1. $f$ ist eine abg. Imm., falls die induzierte Abbildung auf Halme $f^\#_x: O_{Y,f(x)}\to O_{X,x}$ surjektiv ist für jedes $x\in X$. (z.B. in [Bosch, Prop. 7.3/14])

Def. 2. $f$ ist eine abg. Imm., falls der Morphismus zwischen den Garben $f^\#: O_Y\to f_\ast O_X$ surjektiv ist. (z.B. in [Görtz-Wedhorn, Def. 3.41], die Def. von lokal abg. Imm. ist aber ähnlich wie in meiner obigen Def. 1, s. Def. 3.43 loc. cit.)

Wenn ich mich nicht irre, könnte man die Surjektivität (das ist m.E. nach ein schlechtes Wort für den Begriff) von $f^\#$ doch nicht durch die von den $f^\#_x$ (für alle $x\in X$) prüfen, denn $O_Y$ und $O_X$ sind Garben auf verschiedenen Räumen... Übersehe ich etwas?



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Triceratops
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Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-01-27


Ich gehe davon aus, dass in Def. 2 ein Epimorphismus von Garben gemeint ist. Das lässt sich "halmweise" testen. Die Halme lassen sich aber berechnen (mit Hilfe der Annahme an $f$). Für $f(x) \in Y$ hat man die Abbildung aus Def. 1, und für $y \in Y \setminus f(X)$ hat man $O_{Y,y} \to 0$, was trivialerweise surjektiv ist.



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Saki17
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Aus: Fernost
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-27


Achso, gilt stets $(f_\ast O_X)_y\cong O_{X,x}$ (falls $f(x)\in Y$)?



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Saki17
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Mitteilungen: 633
Aus: Fernost
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-27


Ich habe früher einen Thread von MSE gesehen, dass der Isomorphismus in Beitrag #2 i.A. falsch soll: math.stackexchange.com/questions/1570276/stalks-and-direct-image , weshalb ich unsicher mit der Äquivalenz der Definitionen war.



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Triceratops
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Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-01-27


2020-01-27 17:05 - Triceratops in Beitrag No. 1 schreibt:
(mit Hilfe der Annahme an $f$)



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Saki17
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Aus: Fernost
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-27


Danke.



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Saki17 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Saki17 hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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