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Analysis » Funktionen » x^x surjektiv
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Universität/Hochschule x^x surjektiv
Math_user
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-01-27


Guten Abend

Ich versuche gerade zu zeigen, dass \(f(x):= x^x\) bijektiv ist, wobei \(f: (1,\infty) \to (1,\infty)\) geht. Nun für injektiv hatte ich keine Probleme aber ich weiss nicht wie ich die Surjektivität zeigen soll. Kann mir da jemand weiterhelfen?

Einen guten Start in den Feierabend,
Math_user



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Kezer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-01-27


Tipp: Die Funktion ist stetig.


-----------------
The difference between the novice and the master is that the master has failed more times than the novice has tried. ~ Koro-Sensei



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MaxIMP2415
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-01-27


Vielleicht könntest du zeigen, dass: $$ \forall y \in \mathbb{R} \exists x \in \mathbb{R}: x^x > y \Leftrightarrow x> \sqrt[x]{y} $$ gilt und dann den Zwischenwertsatz anwenden.

LG

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]



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Math_user
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-27


2020-01-27 16:47 - Kezer in Beitrag No. 1 schreibt:
Tipp: Die Funktion ist stetig.

Dies ist mir durchaus bewusst, aber ich sehe nicht, wie ich dies zu meinem Gunsten brauchen kann.



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MaxIMP2415
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-01-27


Nur weil die Funktion stetig ist, kannst du den Zwischenwertsatz verwenden.



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Kezer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-01-27


Hm. Überlege dir wie der Graph dieser Funktion aussieht, beweise das rigoros mit Grenzwerten - Stetigkeit sagt uns, dass es keine Löcher gibt, d.h. alles getroffen wird.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]


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MaxIMP2415
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2020-01-27


Ich würde es so machen:
Nach dem archimedischen Axiom existiert für alle y ein $x_0>y$. Außerdem gilt: $\forall x \geq x_0: x^x>x_0^{x_0} $ Also bleibt zu zeigen $x>y \Rightarrow x^x>y $ aber das gilt offensichtlich da $x>1$.
Nun wird, da die Funktion stetig ist, nach dem Zwischenwertsatz jeder Wert im Intervall $[1,y]$ getroffen. Damit ist die Funktion surjektiv.



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Math_user
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-27


Vielen Dank für die verschiedenen Inputs. Ich würde gerade eine Mischung aus beidem machen: Wir wissen \(f(x)\) ist stetig für alle \(x \in (1,\infty)\). Nun ist aber auch auch \(lim_{x \to 1}f(x)=1\) und \(lim_{x \to \infty}f(x)=\infty\) mit dem Zwischenwertsatz folgt, dass \(f(x)\) alle Werte zwischen 1 und \(\infty\) annimmt, dies ist jedoch äquivalent zu sagen dass \(f(x)\) surjektiv ist. (Um es ganz sauber zu machen müsste man natürlich beim Zwischenwertsatz mit einem \(\epsilon>0\) argumentieren, da wir ja nach \(\infty\) streben - dies habe ich aber hier beiseite gelassen.)
Dies sollte eigentlich stimmen oder?



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Math_user
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-27


2020-01-27 17:06 - MaxIMP2415 in Beitrag No. 6 schreibt:
Ich würde es so machen:
Nach dem archimedischen Axiom existiert für alle y ein $x_0>y$. Außerdem gilt: $\forall x \geq x_0: x^x>x_0^{x_0} $ Also bleibt zu zeigen $x>y \Rightarrow x^x>y $ aber das gilt offensichtlich da $x>1$.
Nun wird, da die Funktion stetig ist, nach dem Zwischenwertsatz jeder Wert im Intervall $[1,y]$ getroffen. Damit ist die Funktion surjektiv.

Ich bin nicht ganz sicher mit deiner Argumentation hier. Erst mal was sind \(x_0,y\)? Gilt \(x_0,y\in \mathbb{R}\), wobei \(x_0>y\)? Danach bleibt zu zeigen wieso gilt $\forall x \geq x_0: x^x>x_0^{x_0} $.



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MaxIMP2415
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2020-01-27


Ich wollte damit zeigen, dass die Funktion divergiert. Und das folgt eben aus dem archimedischen Axiom. Aber das kann man auch weglassen.
Und ich würde nicht sagen, dass alle Wert zwischen 1 und $\infty$ angenommen werden, sondern zwischen 1 und y, wobei $y>1 \in \mathbb{R}$ beliebig (groß) ist.




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