Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von viertel
Matroids Matheplanet Forum Index » Rätsel und Knobeleien (Knobelecke) » * mindestens fünf Teiler
Druckversion
Druckversion
Autor
Kein bestimmter Bereich J * mindestens fünf Teiler
querin
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 12.01.2018
Mitteilungen: 327
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-01-27


Sei $n>2$ eine natürliche Zahl und $n^3+2=s\cdot t$ mit echten Teilern $s,t>1$.

Zeige: $n^3-(s+t)+3$ hat mindestens fünf Teiler.

Lösungen bitte als PN. Die Bekanntgabe der richtigen Einsendungen erfolgt am Wochenende.


LG querin



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Dies ist eine Knobelaufgabe!
Der Themensteller hat bestimmt, dass Du Deine Lösung nicht direkt im Forum posten darfst.
Sende stattdessen Deine Lösung als private Nachricht an den Themensteller. Benutze dazu den Link 'Privat', den Du unter seinem Beitrag findest.
Der Themensteller wird zu gegebener Zeit über eingesandte (richtige) Lösungen informieren
und nach Ablauf einer (von ihm) festgelegten Zeit alle Lösungen veröffentlichen.
Red_
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.09.2016
Mitteilungen: 675
Aus: Erde
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-01-28


2020-01-27 21:59 - querin im Themenstart schreibt:
 mit echten Teilern $s,t>1$.

Teilen die n oder meinst du einfach s und t erfüllen die Gleichung n^3 + 2 = s*t, wobei s,t>1?
Ich weiß letzteres ist gemeint, dennoch wollte ich s,t|2 irgendwann ausnutzen  😁



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
StrgAltEntf
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 5870
Aus: Milchstraße
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-01-28


Hallo querin,

sollen die fünf Teiler alle verschieden sein?



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
MartinN
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 05.08.2016
Mitteilungen: 1198
Aus: Bayern
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-01-28


Ich hoffe meine Lösung passt so, wenns hier so viele Nachfragen gibt xS



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Kitaktus
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 11.09.2008
Mitteilungen: 6377
Aus: Niedersachsen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-01-28


2020-01-28 11:23 - StrgAltEntf in Beitrag No. 2 schreibt:
sollen die fünf Teiler alle verschieden sein?
Was für eine merkwürdige Frage? Wenn sie nicht verschieden sein müssten, dann hätte jede Zahl fünf Teiler, nämlich die 1, die 1, die 1, die 1 und die 1.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
StrgAltEntf
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 5870
Aus: Milchstraße
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-01-28


2020-01-28 12:36 - Kitaktus in Beitrag No. 4 schreibt:
Was für eine merkwürdige Frage?

Ja, sorry, war ne blöde Frage! 😮



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Orthonom
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 02.09.2010
Mitteilungen: 569
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2020-01-28


@Kitaktus
Die Teiler wurden vom Themenstarter größer als 1 vorausgesetzt.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.4 begonnen.]



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
StrgAltEntf
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 5870
Aus: Milchstraße
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2020-01-28


2020-01-28 13:05 - Orthonom in Beitrag No. 6 schreibt:
@Kitaktus
Die Teiler wurden vom Themenstarter größer als 1 vorausgesetzt.

Das betrifft aber nur s und t. Ich denke, ein Teiler von n³ - s - t + 3 darf auch 1 sein.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
weird
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 16.10.2009
Mitteilungen: 5301
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2020-01-28


Ich dachte dabei eigentlich an eine geniale Persiflage - im Anschluss an die Frage von Red_ davor. So kann man sich irren!  😮



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Orthonom
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 02.09.2010
Mitteilungen: 569
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2020-01-28


@StrgAltEntf
@querin
Ja, ich habe wohl etwas schludrig gelesen.
Auch bei genauem Lesen habe ich aber Schwierigkeiten die Frage
genau zu deuten.
Soll es etwa heißen:

- Zeige: ... hat mindestens fünf verschiedene Teiler.

- Zeige: ... hat mindestens fünf verschiedene Teiler größer als 1.

- Zeige: ... hat mindestens fünf Teiler größer als 1.

...





Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
haegar90
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.03.2019
Mitteilungen: 336
Aus: Gog
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2020-01-28


Mit den Bedingungen: $ n,r,s,t \in \mathbb{N}$ mit $n>2$ und $n^3+2=s\cdot t$ und $s,t>1$ soll $r:=n^3-(s+t)+3$ mindestens fünf Teiler besitzen. Das würde für mich bedeuten, neben den Teilern $\lbrace1,r\rbrace$ noch mindestens drei weitere  😄


-----------------
Gruß haegar



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Kitaktus
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 11.09.2008
Mitteilungen: 6377
Aus: Niedersachsen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2020-01-28


Wenn ich mich nicht vertan habe, spielt es für die Aufgabe keine Rolle, ob man nur Teiler größer als 1 zählt, oder nicht.
Ich sehe jedenfalls keine Lösung mit genau 5 Teilern (inkl. der 1).



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
querin
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 12.01.2018
Mitteilungen: 327
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-28


2020-01-28 15:08 - haegar90 in Beitrag No. 10 schreibt:
Mit den Bedingungen: $ n,r,s,t \in \mathbb{N}$ mit $n>2$ und $n^3+2=s\cdot t$ und $s,t>1$ soll $r:=n^3-(s+t)+3$ mindestens fünf Teiler besitzen. Das würde für mich bedeuten, neben den Teilern $\lbrace1,r\rbrace$ noch mindestens drei weitere  😄

Ja, so ist es gemeint.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
querin
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 12.01.2018
Mitteilungen: 327
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-01


Gratulation an MartinN und Kitaktus für die eingesandten Lösungen.

Danke fürs Mitmachen :)


Auflösung
Nach Definition von s und t ist $n^3-(s+t)+3=(s-1)(t-1)$

1.Fall: s und t gerade
Dies ist nicht möglich, da $n^3+2$ nicht durch 4 teilbar ist.

2.Fall: s und t ungerade
Sei oBdA $s=2a+1\le t=2b+1$
Wegen $n>2$ ist $n^3+2=(2a+1)(2b+1)\ge 29$ und daher
($a=1$ und $b\ge 5$) oder ($a=2$ und $b\ge 3$) oder ($a\ge 3$ und $b\ge 3$).
$(s-1)(t-1)=2a\cdot 2b=4ab$ hat mindestens 6 Teiler wegen $ab\ge 5$.

3.Fall: Sei oBdA $s=2a$ gerade und $t=2b+1$ ungerade (nicht notwendig $s\le t$)
$(s-1)(t-1)=(2a-1)\cdot 2b$ hat mindestens 6 Teiler, falls $a>1$ und $b>1$.

Es bleiben noch die Spezialfälle $a=1$ oder $b=1$:

Für $a=1$ und $n^3+2=2t$ muss $n=2k$ gerade sein.
$(2k)^3+2=2t$ mit $k\ge 2$ wegen $n>2$
$t=4k^3+1$ und $(s-1)(t-1)=4k^3$ hat für $k\ge 2$ mindestens 6 Teiler.

Für $b=1$ und $n^3+2=s\cdot 3$ muss $n=3k+1$ mit $k\ge 1$ gelten, damit die linke Seite durch 3 teilbar ist. Aus $(3k+1)^3+2=3s$ folgt $s=9k^3+9k^2+3k+1$ und $(s-1)(t-1)=3k\cdot (3k^2+3k+1)\cdot 2$ hat mindestens 8 Teiler





Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
querin hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
querin hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
Dies ist eine Knobelaufgabe!
Der Themensteller hat bestimmt, dass Du Deine Lösung nicht direkt im Forum posten darfst.
Sende stattdessen Deine Lösung als private Nachricht an den Themensteller. Benutze dazu den Link 'Privat', den Du unter seinem Beitrag findest.
Der Themensteller wird zu gegebener Zeit über eingesandte (richtige) Lösungen informieren
und nach Ablauf einer (von ihm) festgelegten Zeit alle Lösungen veröffentlichen.
Neues Thema [Neues Thema]  Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2020 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]