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Matroids Matheplanet Forum Index » Rätsel und Knobeleien (Knobelecke) » * mindestens fünf Teiler
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Kein bestimmter Bereich J * mindestens fünf Teiler
querin
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Dabei seit: 12.01.2018
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-01-27


Sei $n>2$ eine natürliche Zahl und $n^3+2=s\cdot t$ mit echten Teilern $s,t>1$.

Zeige: $n^3-(s+t)+3$ hat mindestens fünf Teiler.

Lösungen bitte als PN. Die Bekanntgabe der richtigen Einsendungen erfolgt am Wochenende.


LG querin



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Der Themensteller wird zu gegebener Zeit über eingesandte (richtige) Lösungen informieren
und nach Ablauf einer (von ihm) festgelegten Zeit alle Lösungen veröffentlichen.
Red_
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Dabei seit: 28.09.2016
Mitteilungen: 663
Aus: Erde
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-01-28


2020-01-27 21:59 - querin im Themenstart schreibt:
 mit echten Teilern $s,t>1$.

Teilen die n oder meinst du einfach s und t erfüllen die Gleichung n^3 + 2 = s*t, wobei s,t>1?
Ich weiß letzteres ist gemeint, dennoch wollte ich s,t|2 irgendwann ausnutzen  😁



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StrgAltEntf
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 5624
Aus: Milchstraße
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-01-28


Hallo querin,

sollen die fünf Teiler alle verschieden sein?



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MartinN
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Dabei seit: 05.08.2016
Mitteilungen: 1156
Aus: Bayern
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-01-28


Ich hoffe meine Lösung passt so, wenns hier so viele Nachfragen gibt xS



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Kitaktus
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Dabei seit: 11.09.2008
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Aus: Niedersachsen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-01-28


2020-01-28 11:23 - StrgAltEntf in Beitrag No. 2 schreibt:
sollen die fünf Teiler alle verschieden sein?
Was für eine merkwürdige Frage? Wenn sie nicht verschieden sein müssten, dann hätte jede Zahl fünf Teiler, nämlich die 1, die 1, die 1, die 1 und die 1.



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StrgAltEntf
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 5624
Aus: Milchstraße
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-01-28


2020-01-28 12:36 - Kitaktus in Beitrag No. 4 schreibt:
Was für eine merkwürdige Frage?

Ja, sorry, war ne blöde Frage! 😮



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Orthonom
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.09.2010
Mitteilungen: 569
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2020-01-28


@Kitaktus
Die Teiler wurden vom Themenstarter größer als 1 vorausgesetzt.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.4 begonnen.]



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StrgAltEntf
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Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 5624
Aus: Milchstraße
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2020-01-28


2020-01-28 13:05 - Orthonom in Beitrag No. 6 schreibt:
@Kitaktus
Die Teiler wurden vom Themenstarter größer als 1 vorausgesetzt.

Das betrifft aber nur s und t. Ich denke, ein Teiler von n³ - s - t + 3 darf auch 1 sein.



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weird
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Dabei seit: 16.10.2009
Mitteilungen: 5222
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2020-01-28


Ich dachte dabei eigentlich an eine geniale Persiflage - im Anschluss an die Frage von Red_ davor. So kann man sich irren!  😮



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Orthonom
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Dabei seit: 02.09.2010
Mitteilungen: 569
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2020-01-28


@StrgAltEntf
@querin
Ja, ich habe wohl etwas schludrig gelesen.
Auch bei genauem Lesen habe ich aber Schwierigkeiten die Frage
genau zu deuten.
Soll es etwa heißen:

- Zeige: ... hat mindestens fünf verschiedene Teiler.

- Zeige: ... hat mindestens fünf verschiedene Teiler größer als 1.

- Zeige: ... hat mindestens fünf Teiler größer als 1.

...





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haegar90
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Mitteilungen: 247
Aus: Danewerk
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2020-01-28


Mit den Bedingungen: $ n,r,s,t \in \mathbb{N}$ mit $n>2$ und $n^3+2=s\cdot t$ und $s,t>1$ soll $r:=n^3-(s+t)+3$ mindestens fünf Teiler besitzen. Das würde für mich bedeuten, neben den Teilern $\lbrace1,r\rbrace$ noch mindestens drei weitere  😄


-----------------
Gruß haegar90



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Kitaktus
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Mitteilungen: 6282
Aus: Niedersachsen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2020-01-28


Wenn ich mich nicht vertan habe, spielt es für die Aufgabe keine Rolle, ob man nur Teiler größer als 1 zählt, oder nicht.
Ich sehe jedenfalls keine Lösung mit genau 5 Teilern (inkl. der 1).



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querin
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-28


2020-01-28 15:08 - haegar90 in Beitrag No. 10 schreibt:
Mit den Bedingungen: $ n,r,s,t \in \mathbb{N}$ mit $n>2$ und $n^3+2=s\cdot t$ und $s,t>1$ soll $r:=n^3-(s+t)+3$ mindestens fünf Teiler besitzen. Das würde für mich bedeuten, neben den Teilern $\lbrace1,r\rbrace$ noch mindestens drei weitere  😄

Ja, so ist es gemeint.



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querin
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-01


Gratulation an MartinN und Kitaktus für die eingesandten Lösungen.

Danke fürs Mitmachen :)


Auflösung
Nach Definition von s und t ist $n^3-(s+t)+3=(s-1)(t-1)$

1.Fall: s und t gerade
Dies ist nicht möglich, da $n^3+2$ nicht durch 4 teilbar ist.

2.Fall: s und t ungerade
Sei oBdA $s=2a+1\le t=2b+1$
Wegen $n>2$ ist $n^3+2=(2a+1)(2b+1)\ge 29$ und daher
($a=1$ und $b\ge 5$) oder ($a=2$ und $b\ge 3$) oder ($a\ge 3$ und $b\ge 3$).
$(s-1)(t-1)=2a\cdot 2b=4ab$ hat mindestens 6 Teiler wegen $ab\ge 5$.

3.Fall: Sei oBdA $s=2a$ gerade und $t=2b+1$ ungerade (nicht notwendig $s\le t$)
$(s-1)(t-1)=(2a-1)\cdot 2b$ hat mindestens 6 Teiler, falls $a>1$ und $b>1$.

Es bleiben noch die Spezialfälle $a=1$ oder $b=1$:

Für $a=1$ und $n^3+2=2t$ muss $n=2k$ gerade sein.
$(2k)^3+2=2t$ mit $k\ge 2$ wegen $n>2$
$t=4k^3+1$ und $(s-1)(t-1)=4k^3$ hat für $k\ge 2$ mindestens 6 Teiler.

Für $b=1$ und $n^3+2=s\cdot 3$ muss $n=3k+1$ mit $k\ge 1$ gelten, damit die linke Seite durch 3 teilbar ist. Aus $(3k+1)^3+2=3s$ folgt $s=9k^3+9k^2+3k+1$ und $(s-1)(t-1)=3k\cdot (3k^2+3k+1)\cdot 2$ hat mindestens 8 Teiler





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querin hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
querin hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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