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Universität/Hochschule J DGL mit Heavisidefunktion
Wirkungsquantum
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-02-01


Hallo,
ich hab folgende lineare, inhomogene DGL gegeben, deren allgemeine Lösung gesucht ist:
$$y'(t)+\frac{1}{\tau}y(t)=H(t_0-t) \\y(0)=1$$ Wobei $$H(t_0-t)= \begin{cases}
1 & \text{für } t \le t_0 \\
0 & \text{sonst}
\end{cases}\\ t_0 >0
$$ Ich wollte fragen ob mein Vorgehen und die Lösung so korrekt sind?
Man hat eine stückweise stetige DGL. Für $t > t_0$ ist das eine einfache homogene DGL. Für $t \le t_0$ eine inhomogene, wobei aus Stetigkeitsgründen $y(t_0)=e^{-t_0/\tau}$ die Anfangsbedingung für die inhomogene DGL ist. Daher folgt als Lösung: $$y(t) = \begin{cases}
e^{-\frac{t}{\tau}} + \tau \left(e^{-\frac{t-t_0}{\tau}}-1 \right ) & \text{für } t \le t_0 \\
e^{-\frac{t}{\tau}}  &  \text{sonst}
\end{cases}$$
Die Musterlösung kam auf starke Abweichungen, allerdings kann man ja die partikulären Lösung "freier" wählen, darum schließe ich nicht aus, dass sie einfach eine andere genommen hat.
Musterlösung:
$$y(t) = \begin{cases}
\tau+ (1-\tau) e^{-\frac{t}{\tau}} & \text{für } t \le t_0 \\
\tau e^{-\frac{t-t_0}{\tau}}+ (1-\tau) e^{-\frac{t}{\tau}}&  \text{sonst}
\end{cases}$$
Danke im Voraus.

Grüße,
h


-----------------
$\text{h}=6,626⋅10^{-34} \text{Js}$



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gonz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-02-01


Hallo Wirkungsquantum,

ich komme für den Bereich 0..t_0 auch auf die Musterlösung. Da ja eine Nebenbedingung gegeben ist, die die Lösung eindeutig festlegt, müsste sich bei der Wahl einer anderen part. Lösung in Endeffekt wieder die gleiche Funktion ergeben.

Ich würde deshalb annehmen, dass du dich irgendwo verrechnet hast? Denn dein Vorgehen scheint mir im Grundsatz richtig zu sein.

Grüße
Gerhard/Gonz



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Wirkungsquantum
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-01


Hallo,
danke für die Rückmeldung.

Ah ich sehe das Problem in meiner Rechnung. Diese Heavsidefunktion ist ja "gespielget", daher hat man erst die inhomogene Lösung danach die homogene (und dementsprechend sind die Anfangsbedingungen grad vertauscht, wie ich sie verwendet hab). Meine Lösung würde nur für $H(t-t_0)$ funktionieren.
Ich komm jetzt auch auf das gleiche Ergebnis, danke für die Hilfe 😄


-----------------
$\text{h}=6,626⋅10^{-34} \text{Js}$



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