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Differentiation » Differentialrechnung in IR » Differenzierbarkeit
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Universität/Hochschule J Differenzierbarkeit
idontknowhow10
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-02-03


Ich verstehe folgende Lösung nicht ganz.



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PhysikRabe
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-02-03


2020-02-03 02:48 - idontknowhow10 im Themenstart schreibt:
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Die Tatsache, dass die Ableitung in diesem Punkt berechnet werden kann, bedeutet doch gerade deren Existenz (das entspricht der Berechnung von $\lim\limits_{x\to 1} g'(x)$, wenn du willst). Du kannst aber natürlich auch direkt in den Differentialquotienten einsetzen und den Limes ausrechnen - das ist das selbe.

2020-02-03 02:48 - idontknowhow10 im Themenstart schreibt:
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Ja, und man sieht hier auch direkt, dass das eben nicht berechnet werden kann: Was ist denn $\lim\limits_{h\to 0^+} \frac{|h|}{h}$?

Grüße,
PhysikRabe


-----------------
"Non est ad astra mollis e terris via" - Seneca
"Even logic must give way to physics." - Spock



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-02-03

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo,

2020-02-03 02:48 - idontknowhow10 im Themenstart schreibt:
Ich verstehe folgende Lösung nicht ganz.



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mal noch etwas grundsätzliches (da das ja nicht deine erste Frage dieser Art ist): mir scheint es hier so zu sein, dass die Differential- bzw. die Grenzwerte der Differerenzenquotienten nur aus formalen Gründen dastehen. Rechnen kann man hier ganz normal mit den ersten Ableitungen.

Denn in der Lösung wird ja nirgends der Grenzwert eines solchen Differenzenquotienten ausgerechnet.

Es sollte klar sein, dass die Ableitung an der Stelle \(x=1\) hier gegeben ist durch

\[f'(1)=\frac{1}{2\sqrt{1}}=\frac{1}{2}\]
Daraus folgt sofort \(a=\frac{1}{2}\). Und jetzt muss man eben noch \(b\) so bestimmen, dass die Funktion an der Stelle \(x=1\) auch stetig ist (das ist nämlich eine Voraussetzung für Differenzierbarkeit).


Gruß, Diophant


[Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Differentialrechnung in IR' von Diophant]
\(\endgroup\)


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idontknowhow10
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-03



Ja, und man sieht hier auch direkt, dass das eben nicht berechnet werden kann: Was ist denn $\lim\limits_{h\to 0^+} \frac{|h|}{h}$?

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mal noch etwas grundsätzliches (da das ja nicht deine erste Frage dieser Art ist): mir scheint es hier so zu sein, dass die Differential- bzw. die Grenzwerte der Differerenzenquotienten nur aus formalen Gründen dastehen. Rechnen kann man hier ganz normal mit den ersten Ableitungen.

Denn in der Lösung wird ja nirgends der Grenzwert eines solchen Differenzenquotienten ausgerechnet.

Das könnte tatsächlich des Rätsels Lösung sein.
Wie gesagt, dass drumherum verstehe ich, auch warum a=1/2 sein muss etc. Nur dieser "Beweis" mit der h-Methode bereitet mir Kopfschmerzen.

Oder liegt es daran, dass wir nur a,b bestimmen sollen, damit die Funktion diffbar ist, und wir somit annehmen können, dass wir die Funktion ableiten können?



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-02-03

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo,

2020-02-03 12:37 - idontknowhow10 in Beitrag No. 3 schreibt:

mal noch etwas grundsätzliches (da das ja nicht deine erste Frage dieser Art ist): mir scheint es hier so zu sein, dass die Differential- bzw. die Grenzwerte der Differerenzenquotienten nur aus formalen Gründen dastehen. Rechnen kann man hier ganz normal mit den ersten Ableitungen.

Denn in der Lösung wird ja nirgends der Grenzwert eines solchen Differenzenquotienten ausgerechnet.

Das könnte tatsächlich des Rätsels Lösung sein.
Wie gesagt, dass drumherum verstehe ich, auch warum a=1/2 sein muss etc. Nur dieser "Beweis" mit der h-Methode bereitet mir Kopfschmerzen.

Oder liegt es daran, dass wir nur a,b bestimmen sollen, damit die Funktion diffbar ist, und wir somit annehmen können, dass wir die Funktion ableiten können?

die einzelnen Funktionsterme sind ja bekannt und elementar, da kann man die Differenzierbarkeit voraussetzen. Kritisch ist nur die Stelle \(x=1\), weil dort der Übergang vom einen Funktionsterm zum anderen stattfindet.

In der Kurzversion könnte man etwa schreiben:

\[f'(1)=\frac{1}{2},\quad \displaystyle\lim_{x\nearrow 1}f'(x)=a\quad\Rightarrow\quad a=\frac{1}{2}\]
Und das wurde bei euch eben per Differenzenquotient in der Langversion geschrieben. Wobei es ja hier wie im anderen Thread nirgends darum ging, den Grenzwert zu berechnen, sondern dazu wurde stets der Term der zuständigen Ableitungsfunktion benutzt.

Es ist übrigens egal, ob das per 'h-Methode' oder per 'x-Methode' gemacht wird. Wichtig ist allein, dass es sich um Ableitungen als Grenzwert von Differenzenquotienten handelt. Denn das Konzept der Differenzierbarkeit ist ja nicht an die Existenz von geschlossenen Funktions- respektive Ableitungstermen gebunden. Und das soll hier wohl durch die Schreibweise betont werden.


Gruß, Diophant




 
\(\endgroup\)


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PhysikRabe
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-02-03


2020-02-03 12:37 - idontknowhow10 in Beitrag No. 3 schreibt:
Sondern daraus direkt die Ableitung gefolgert ohne wirklich zu testen, ob sie existiert.

Wie Diophant schon erklärt hat, handelt es sich hierbei um elementare Funktionen, deren Differenzierbarkeit bekannt ist. Außerdem, salopp gesprochen: Wenn ich die Ableitung berechnen kann, dann existiert sie doch auch; da gibt es nichts mehr zu beweisen (bzw. das ist bereits der Existenzbeweis).

Grüße,
PhysikRabe


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idontknowhow10 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
idontknowhow10 hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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