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Funktionenfolgen und -reihen » Konvergenz » Funktionenfolge Lebesgue-integrierbar
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Universität/Hochschule Funktionenfolge Lebesgue-integrierbar
shirox
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  Themenstart: 2020-02-03

Guten Tag, Ich bin mir bei folgender Aufgabe noch unsicher: Sei $n \in N$ und $f_n:[0,1]\Rightarrow R$ with $f_n(x):=\frac{n^\alpha \cdot \ x}{1+n^2x^2}$, wobei $\alpha\ge0$ Ich weiß schon, dass f punktweise konvergiert $0\leqslant\alpha\leqslant2$. wenn $\alpha\in[0,2)$, konvergiert es punktweise gegen die Nullfunktion und, wenn $\alpha=2$, konvergiert es punktweise gegen $$\begin{array}{ccc}[0,1]&\longrightarrow&\mathbb R\\x&\mapsto&\begin{cases}0&\text{ if }x=0\\\frac1x&\text{ sonst.}\end{cases}\end{array}$$wenn $\alpha>3$, konvergiert es nicht Also wenn $\alpha\in[0,2)$ konvergiert es gegen die Nullfunktion und ist L-integrierbar b) bestimme $M_n:=max_{x\in[0,1]} f_n(x)$ und berechne $\int_0^1f_n(x)dx$ Das Integral und den Limes kann ich ja nur tauschen, wenn es L-integrierbar ist also für $\alpha<2$ und da ist es die Nullfunktion, welche integriert ja auch Null ist. c)Für welche $\alpha$ gilt: $\lim_{n\to\infty} \int_0^1 f_n(x)dx$ $=$$\int_0^1f(x)dx$ auch hier hätte ich wieder $\alpha \in [0,2)$ gesagt d) Für welche $\alpha$ sind die Vorraussetzungen des Satzes von Lebesgue über majorisierte Konvergenz erfüllt. Hier hätte ich gesagt $\alpha \in [0,2]$ es muss ja für fast alle punktweise konvergieren, also das ist zumindest eine der Vorraussetzungen Irgendwie zweifel ich stark an meinen Antworten. Danke!:)


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ochen
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  Beitrag No.1, eingetragen 2020-02-03

Hallo, \quoteon(2020-02-03 11:36 - shirox im Themenstart) Guten Tag, Ich bin mir bei folgender Aufgabe noch unsicher: Sei $n \in \mathbb{N}$ und $f_n\colon[0,1]\to\mathbb{R}$ with $f_n(x):=\frac{n^\alpha \cdot \ x}{1+n^2x^2}$, wobei $\alpha\ge0$ Ich weiß schon, dass f punktweise konvergiert $0\leqslant\alpha\leqslant2$. wenn $\alpha\in[0,2)$, konvergiert es punktweise gegen die Nullfunktion und, wenn $\alpha=2$, konvergiert es punktweise gegen $$\begin{array}{ccc}[0,1]&\longrightarrow&\mathbb R\\x&\mapsto&\begin{cases}0&\text{ if }x=0\\\frac1x&\text{ sonst.}\end{cases}\end{array}$$wenn $\alpha>3$, konvergiert es nicht Also wenn $\alpha\in[0,2)$ konvergiert es gegen die Nullfunktion und ist L-integrierbar b) Bestimme $M_n:=\max_{x\in[0,1]} f_n(x)$ und berechne $\displaystyle\int_0^1f_n(x)dx$ Das Integral und den Limes kann ich ja nur tauschen, wenn es L-integrierbar ist also für $\alpha<2$ und da ist es die Nullfunktion, welche integriert ja auch Null ist. \quoteoff Zuerst einmal möchte ich schreiben, dass es sehr schön ist, dass du latex verwendest. Trotzdem sind noch einige Fehler drin. Guck dir am besten deine Beiträge auch nach dem Posten an und ändere sie gegebenenfalls.:) Das war nicht die Frage von b). Seien $n\in \mathbb{N}, \alpha\geq 0$ fest. Was ist dann $M_n$? Es sind alle Funktionen $f $ überall definiert und überall stetig. Also sind auch alle Funktionen $f_n$ beschränkt. Wo nehmen sie ihr Maximum an? Außerdem kannst du ohne weiteres $f_n$ integrieren, ohne dich dafür zu interessieren, ob die Folge der Funktionen konvergiert. Mach das mal. \quoteon c)Für welche $\alpha$ gilt: $\lim_{n\to\infty} \int_0^1 f_n(x)dx=\int_0^1f(x)dx$ auch hier hätte ich wieder $\alpha \in [0,2)$ gesagt \quoteoff Was ist $f$? Vermutlich wird es in der Aufgabe a) erwähnt.Berechne beide Seiten getrennt. Du solltest nicht den Satz von Lebesgue verwenden.


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shirox
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-03

Erstmal Vielen Dank, für die Antwort! Ich hab gestern erst angefangen Latex zu benutzen, deswegen sind mir viele Dinge noch nicht ganz so bewusst, ich hoffe ich hab jetzt alle Sachen verbessert. b) Also ganz normal den Hochpunkt berechnen, in dem ich die erste Ableitung Null setzte etc.? c)Sorry, ja in der a) sollte man schauen für welche $\alpha$ die Folge $(f_n)$ punktweise auf $[0,1]$ konvergiert? Wobei $f$ dann die Grenzfunktion ist. Dann rechne ich beides mal getrennt Liebe Grüße


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  Beitrag No.3, eingetragen 2020-02-03

\quoteon(2020-02-03 16:32 - shirox in Beitrag No. 2) b) Also ganz normal den Hochpunkt berechnen, in dem ich die erste Ableitung Null setzte etc.? \quoteoff ja genau, es sollte einen kritischen Punkt $x^*$ im Inneren des Intervalls geben. Dann ist $M_n=\max\{f_n(0), f_n(1), f_n(x^*)\}$ \quoteon c)Sorry, ja in der a) sollte man schauen für welche $\alpha$ die Folge $(f_n)$ punktweise auf $[0,1]$ konvergiert? Wobei $f$ dann die Grenzfunktion ist. Dann rechne ich beides mal getrennt \quoteoff Super :)


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