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Funktionenfolgen und -reihen » Konvergenz » Gegenbeispiel glm. konvergent Satz über majorisierte Konvergenz
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Universität/Hochschule J Gegenbeispiel glm. konvergent Satz über majorisierte Konvergenz
shirox
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  Themenstart: 2020-02-05

Guten Tag, Ich brauche kurz Hilfe bei folgender Aufgabe, ich bin mir sicher, dass die Aussage falsch ist aber mir fällt kein Gegenbsp. ein c) Ist $(f_n)$ auf $[1,\infty)$ glm. konvergent und ist $f$ L-integrierbar auf $[1,\infty)$ so gilt $\lim_{n\to\infty} \int_1^{\infty} f_n(x)dx = \int_1^{\infty} f(x) dx$ Vielleicht könnt ihr mir ja helfen, bei allem an was ich Gedacht habe, war der Zusatz mit dem L-integrierbar nicht erfüllt


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shipwater
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  Beitrag No.1, eingetragen 2020-02-05

Versuche mal $f=0$. Die Funktionenfolge schickst du dann mit zunehmendem $n$ immer weiter nach rechts, und zwar so, dass sie an Höhe verliert (um gleichmäßige Konvergenz zu erreichen), aber an Breite gewinnt (damit die Integrale konstant bleiben).


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shirox
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-05

Danke, für die schnelle Antwort! Sowas wie $\frac{1}{n}$ für $n \in (0,1)$ und $\frac{1}{2n}$ für $n \in [1,2)$ und $\frac{1}{3n}$ für $n \in [2,3]$ ..... wobei es glaub ich auch immer offene Intervalle sein können/müssen?


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shipwater
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  Beitrag No.3, eingetragen 2020-02-05

Ich denke du hast dich paar mal verschrieben und meinst $x \in (0,1)$ anstatt $n \in (0,1)$ etc. Die Funktionenfolge $f_n(x)=\frac{1}{n} \chi_{[n,2n]}(x)$ sollte es tun. Offen oder abgeschlossen spielt keine Rolle.


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shirox
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-05

Ich hab mich ehrlicherweise nicht vertan, aber anhand deines Beispieles kann ich nachvollziehen, was du beschrieben hast.


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shipwater
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  Beitrag No.5, eingetragen 2020-02-06

Beachte, dass $n \in \mathbb{N}$.


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