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Differentiation » Differentialrechnung in IR » Aufgabe über Differenzierbarkeit
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Universität/Hochschule J Aufgabe über Differenzierbarkeit
Math_user
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-02-05


Guten Abend

Ich habe eine Aufgabe, bei der ich ein wenige Starthilfe brauche: Sei \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) stetig. Folgendes soll ich zeigen: \(f\) ist differenzierbar in 0 so existiert \(L:= lim_{x \to 0}\frac{f(2x)-f(x)}{x}\) und \(L= f'(0)\). Ich weiss nun nichts über \(f(2x)\) und dies blockiert mich ein wenig.
Kann mir jemand weiterhelfen?
Herzliche Grüsse
Math_user



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Buri
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-02-05


Hi Math_user,
die Aussagen sind nicht äquivalent.
Gruß Buri



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Vercassivelaunos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-02-05

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Hallo Math_user,

die Äquivalenz gilt nicht. Betrachte zum Beispiel $f(x)=\sqrt x$. Dann ist $\frac{f(2x)-f(x)}{x}=\frac{\sqrt2-1}{\sqrt x}$, und der Grenzwert für $x\to 0$ davon existiert nicht. Oder wenn es wirklich auf ganz $\R$ definiert sein soll, dann $f(x)=\sqrt[3]x$. Eventuell würde Lipschitzstetigkeit, oder gleichmäßige Stetigkeit in einer Umgebung von 0 diese Folgerung erlauben.

Viele Grüße
Vercassivelaunos

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
\(\endgroup\)


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Math_user
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-05


2020-02-05 21:50 - Buri in Beitrag No. 1 schreibt:
Hi Math_user,
die Aussagen sind nicht äquivalent.
Gruß Buri

Vielen Dank Buri für deine Antwort! (Fühle mich geehrte, dass so eine Matheplanet Legende wie du, sich meiner Frage widmet  😄  )



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Math_user
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-05

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2020-02-05 21:57 - Vercassivelaunos in Beitrag No. 2 schreibt:
Hallo Math_user,

die Äquivalenz gilt nicht. Betrachte zum Beispiel $f(x)=\sqrt x$. Dann ist $\frac{f(2x)-f(x)}{x}=\frac{\sqrt2-1}{\sqrt x}$, und der Grenzwert für $x\to 0$ davon existiert nicht. Oder wenn es wirklich auf ganz $\R$ definiert sein soll, dann $f(x)=\sqrt[3]x$. Eventuell würde Lipschitzstetigkeit, oder gleichmäßige Stetigkeit in einer Umgebung von 0 diese Folgerung erlauben.

Viele Grüße
Vercassivelaunos

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]

Vielen Dank für deine Antwort und deinem guten Gegenbeispiel. Ich habe da was falsch verstanden.
\(\endgroup\)


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Math_user
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-05


Ich habe nun die Aufgabenstellung korrigiert aber ich komme leider immer noch nicht weiter.. ^^



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2020-02-05


2020-02-05 22:06 - Math_user in Beitrag No. 5 schreibt:
Ich habe nun die Aufgabenstellung korrigiert aber ich komme leider immer noch nicht weiter.. ^^

Hallo Math_user,

ich komme hier auch nicht weiter.


2020-02-05 21:42 - Math_user im Themenstart schreibt:
Folgendes soll ich zeigen: \(f\) ist stetig in 0 so existiert \(L:= lim_{x \to 0}\frac{f(2x)-f(x)}{x}\) und \(L= f'(0)\). Ich weiss nun nichts über \(f(2x)\) und dies blockiert mich ein wenig.

Hieße das nicht, dass jede in 0 stetige Funktion dort auch differenzierbar ist? Bekanntlich gilt das ja nicht.



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Math_user
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-05


2020-02-05 22:28 - StrgAltEntf in Beitrag No. 6 schreibt:
ich komme hier auch nicht weiter.

Man sollte einfach müde keine Mathematik mehr machen... Es sollte natürlich differenzierbar heissen nicht stetig. Es macht das ganze ein weniger logischer aber immer noch nicht verständlich...
Ich entschuldige mich für die ganze Verwirrung!



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StrgAltEntf
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Das müsste doch dann einfach mit L'Hospital lösbar sein, oder übersehe ich etwas?



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X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2020-02-06


Gemäß Voraussetzung ist f in 0 differenzierbar, es existiert also

$B:= \lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x}$.

Ferner existiert $C:= \lim_{x \to 0} \frac{f(2x) - f(0)}{x}$,

denn wir erhalten durch Variablentransformation $z:= 2x:$

(Hier bitte nur reinschauen, wenn du gar nicht drauf kommst).


$\lim_{x \to 0} \frac{f(2x) - f(0)}{x} = \lim_{z \to 0} \frac{f(z) - f(0)}{\frac{z}{2}} = 2 \cdot \lim_{z \to 0} \frac{f(z) - f(0)}{z} = 2 \cdot B$.




Damit ist $L = \lim_{x \to 0} \frac{f(2x) - f(x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{f(2x) - f(0) + f(0) - f(x)}{x} = ...$

Viele Grüße und eine geruhsame Nacht!
X3nion 😄




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Math_user
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-06


Vielen Dank X3nion! Wieso bin ich nicht selber darauf gekommen? Nun ist die ganze Sache klar! Vielen Dank für euer Hilfe.



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