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Ingenieurwesen » Technische Mechanik » Stabkräfte eines verankerten Körpers
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Universität/Hochschule J Stabkräfte eines verankerten Körpers
kuala
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 08.02.2020
Mitteilungen: 6
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-02-08


Hallo,

könnte mir jemand sagen, weshalb mein Lösungsansatz bzgl. folgender Aufgabe falsch ist?



Ich bin davon ausgegangen, dass das Drehmoment bzgl. des Punktes, in dem M angreift, gleich 0 ist. Allerdings komme ich damit nicht auf die angegebene Lösung bzw. diese scheint mir nur für den Fall M = 0 zu stimmen.

D.h. konkret ist mein Ansatz:

$$5F - S_2 \sin \alpha + S_3 \sin \alpha = 0$$ $$-2F + S_1 + S_2 \cos \alpha + S_3 \cos \alpha = 0$$ $$ M +
\left(
\begin{array}{c}
6a \\
2a \\
\end{array}
\right)
\times
(\vec S_2 + \vec S_3)
+
\left(
\begin{array}{c}
3a \\
a \\
\end{array}
\right)
\times
\left(
\begin{array}{c}
5F \\
0 \\
\end{array}
\right)
+
\left(
\begin{array}{c}
6a \\
0 \\
\end{array}
\right)
\times
\left(
\begin{array}{c}
0 \\
-2F \\
\end{array}
\right)
= 0
$$
Vielen Dank!



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Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 3063
Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-02-08

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo kuala und willkommen hier im Forum!

Wenn ich nichts übersehe, dann sind deine beiden Kraftgleichungen (Summe der Horizontal- und Vertikalkräfte) richtig. In der Momentengleichung hat sich jedoch ein Fehler eingeschlichen. Die Wirklinie der Kraft \(5F\) hat zu dem Angriffspunkt des gegebenen Moments ja nur den Abstand \(a\). Bei dir ist da ein diagonaler Radiusvektor \(\bpm 3a\\a \epm\) in der Rechnung, und der ist eben falsch. Bei der \(2F\)-Kraft passt es dann wieder.

EDIT: nein, ich muss das zurücknehmen. Das ist ja hier so eine nicht autorisierte Verwendung* des Kreuzprodukts im \(\IR^2\), das hat mich verwirrt. Also die Gleichung scheint zu passen, dann müsstest du deine komplette Rechnung mal präsentieren.


Gruß, Diophant

*  😉
\(\endgroup\)


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kuala
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 08.02.2020
Mitteilungen: 6
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-08


Hallo Diophant,

dankeschön für die schnelle Antwort - dann werde ich erst noch einmal meine Rechnung überprüfen, und sie eventuell später am Nachmittag hier einstellen. Ich selbst muss die Aufgabe gar nicht lösen, wollte nur jemandem helfen, aber da ich nicht auf das Ergebnis kam und ich mich mit technischer Mechanik nicht auskenne, dachte ich da gäbe es irgendeine Besonderheit, die ich nicht beachtet habe.

Tut mir Leid wegen des "Missbrauchs" des Kreuzprodukts, ich dachte so ist es übersichtlicher ;)

Viele Grüße



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kuala
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 08.02.2020
Mitteilungen: 6
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-08


Hier die Rechnung:

Aus der ersten Gleichung folgt:
$$ S_3 = S_2 - \frac{5 F}{\sin \alpha}$$
Einsetzen in die zweite Gleichung ergibt:
$$ S_1 = 2 F - 2 S_2 \cos \alpha + 5 F \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} $$
Damit folgt aus Gleichung drei:
$$ M +
\left(
\begin{array}{c}
6a \\
2a \\
\end{array}
\right)
\times
\left(
\begin{array}{c}
-S_2 \sin \alpha + S_3 \sin \alpha \\
S_2 \cos \alpha + S_3 \cos \alpha \\
\end{array}
\right)
+
\left(
\begin{array}{c}
3a \\
a \\
\end{array}
\right)
\times
\left(
\begin{array}{c}
5F \\
0 \\
\end{array}
\right)
+
\left(
\begin{array}{c}
6a \\
0 \\
\end{array}
\right)
\times
\left(
\begin{array}{c}
0 \\
-2F \\
\end{array}
\right)
= 0 \\

M + 6a(S_2 + S_3) \cos \alpha + 2a (S_2 - S_3) \sin \alpha - 17aF = 0 \\
M + 6a(2 S_2 - \frac{5 F}{\sin \alpha}) \cos \alpha + 2a (\frac{5 F}{\sin \alpha}) \sin \alpha - 17aF = 0 \\
12 a S_2 = - M + 30 \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} aF + 7aF \\
S_2 = \frac{- M + (30 \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} + 7) aF}{12 a}
$$
Mit $\cos\alpha = \cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$,  $\sin\alpha = \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$ und $M = aF$:
$$S_2 = (1 + 5 \sqrt{3}) \frac{F}{2} $$





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Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 3063
Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-02-08

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo kuala,

auf die Schnelle kann ich keinen Fehler entdecken (wobei in deinen Rechnungen jeweils ganz schön wild im Kopf gerechnet wird ;-) ).

Das stimmt ja  nun für die Stabkraft \(S_2\) mit der Notiz auf dem Aufgabenblatt überein. Passt es denn jetzt?

Sorry: da hatte ich mich verlesen.

Sonst wären vielleicht die Werte der Musterlösung noch ganz hilfreich (ok: sind auch schon da, ist also geklärt).


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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kuala
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 08.02.2020
Mitteilungen: 6
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-08


Hallo Diophant,

die Notiz auf dem Aufgabenblatt ist die Lösung - $S_2$ stimmt leider nur bis auf den Faktor $\sqrt{3}/2$ überein :(



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Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 3063
Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2020-02-08

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo,

ich habe das ganze gerade nochmals händisch durchgerechnet und zwar unter Verzicht auf die Kreuzprodukt-Schreibweise mit den tatsächlichen Abständen der Wirklinien von S2 und S3 zum Angriffspunkt von M (\(a(3\sqrt{3}+1)\) und \(a(3\sqrt{3}-1)\), per Hesse'scher Normalenform ermittelt).

Es kommt exakt das gleiche heraus. Sprich: je mehr ich darüber nachdenke, desto mehr komme ich zu der Ansicht, dass da an der Musterlösung (oder was auch immer das ist) etwas nicht stimmt.

Die Werte für S2 weichen ja auch nicht sehr stark voneinander ab:

- Berechnet: \(S_2\approx 4.83F\)

- Musterlösung: \(S_2\approx 5.58F\)

Außerdem erscheint mir aus dem Bauch heraus der etwas geringere Wert für diese Zugkraft doch plausibler zu sein. Dass ich so etwas selbst aktiv gemacht habe, liegt zwar mittlerweile schon Jahrzehnte zurück. Ich kann jedenfalls weder in deinem Ansatz noch in deinem Resultat für S2 einen Fehler entdecken.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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kuala
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 08.02.2020
Mitteilungen: 6
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-08


Danke sehr für die Mühe und die Bestätigung. Diese Musterlösung hat der Dozent in der Vorlesung angegeben. Finde es sehr suboptimal, dass den Studenten dort scheinbar falsche Ergebnisse genannt werden ohne die Aufgabe zu besprechen...



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zippy
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 932
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2020-02-09


2020-02-08 19:01 - kuala in Beitrag No. 7 schreibt:
Diese Musterlösung hat der Dozent in der Vorlesung angegeben. Finde es sehr suboptimal, dass den Studenten dort scheinbar falsche Ergebnisse genannt werden ohne die Aufgabe zu besprechen...

Ich denke, dass die Musterlösung korrekt ist und ihr euch verrechnet habt:
maxima
(%i1) load("vect")$  k(u,v) := express(u~v)$  /* Definition Kreuzprodukt */
(%i3) si: sin(%pi/6)$ co: cos(%pi/6)$         /* Sinus und Cosinus für 30° */
(%i5) fx: -s2 * si + s3 * si + 5 = 0$         /* Bilanz x-Komponente der Kraft */
(%i6) fy: s1 + s2 * co + s3 * co - 2 = 0$     /* Bilanz y-Komponente der Kraft */
(%i7) m: s2 * k([6,2],[-si,co]) +
(%i7)    s3 * k([6,2],[si,co]) +
(%i7)    5 * k([3,1],[1,0]) +
(%i7)    2 * k([6,0],[0,-1]) + 1 = 0$         /* Bilanz Drehmoment */
(%i8) linsolve([fx, fy, m], [s1, s2, s3]);
                              sqrt(3) + 15       sqrt(3) - 15
(%o8)           [s1 = 1, s2 = ------------, s3 = ------------]
                                   3                  3
(%i9) fpprintprec: 5$ %o8, numer;
(%o10)               [s1 = 1, s2 = 5.5774, s3 = - 4.4226]

--zippy



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Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 3063
Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2020-02-09


Hallo zippy,

Dankeschön. Dann werde ich heute nochmals auf Fehlersuche gehen.


Gruß, Diophant



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zippy
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 932
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2020-02-09


Auch eine Rechnung von Hand bleibt recht übersichtlich. Man muss noch nicht einmal $\alpha=30^\circ$ einsetzen:$$ \def\si {\sin\alpha }\def\co{\cos\alpha }
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
0 & -\si & \si \\
1 & \co & \co \\
0 & 6\co+2\si & 6\co-2\si \\
\end{pmatrix}
  \begin{pmatrix}S_1\\S_2\\S_3\end{pmatrix} &=
  \begin{pmatrix}-5\\2\\16\end{pmatrix} \\[1.5ex]
\iff\quad
\begin{pmatrix}
0 & -\si & \si \\
1 & \co & \co \\
0 & \co & \co \\
\end{pmatrix}
  \begin{pmatrix}S_1\\S_2\\S_3\end{pmatrix} &=
  \begin{pmatrix}-5\\2\\1\end{pmatrix} \\[1.5ex]
\iff\quad
\begin{pmatrix}
0 & 1 & -1 \\
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 1 \\
\end{pmatrix}
  \begin{pmatrix}S_1\\S_2\\S_3\end{pmatrix} &=
  \begin{pmatrix}{5\over\si}\\1\\{1\over\co}\end{pmatrix} \\[1.5ex]
\iff\quad
\begin{pmatrix}
0 & 2 & 0 \\
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 2 \\
\end{pmatrix}
  \begin{pmatrix}S_1\\S_2\\S_3\end{pmatrix} &=
  \begin{pmatrix}{5\over\si}+{1\over\co}\\1
  \\{1\over\co}-{5\over\si}\end{pmatrix} \\[1.5ex]
\iff\quad
\begin{pmatrix}S_2\\S_1\\S_3\end{pmatrix} &=
  \begin{pmatrix}
  {\si+5\co\over2\si\co}\\1\\{\si-5\co\over2\si\co}
  \end{pmatrix}
\end{align*}$$



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Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 3063
Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2020-02-09

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo zippy,

danke nochmal für's Nachrechnen. Ich glaube, ich habe den Fehler in der obigen Rechnung (Beitrag #3) gefunden, wo die Momentenbilanz-Gleichung nach \(S_2\) aufgelöst wird. Dort wurde offensichtlich vergessen, durch \(\cos\alpha\) zu dividieren, und das ist mir dann bei meinem Versuch ebenfalls passiert.

Jedenfalls hast du hier schön vorgeführt, dass das Gauß-Verfahren als Schreibweise am Ende von allen Varianten doch die übersichtlichste ist.  😄


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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kuala
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 08.02.2020
Mitteilungen: 6
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-11


Oh, da habe ich tatsächlich vergessen das $\cos \alpha$ mit auf die linke Seite zu nehmen. Danke!



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