Die Mathe-Redaktion - 23.02.2020 17:01 - Registrieren/Login
Auswahl
ListenpunktHome
ListenpunktAktuell und Interessant ai
ListenpunktArtikelübersicht/-suche
ListenpunktAlle Links / Mathe-Links
ListenpunktFach- & Sachbücher
ListenpunktMitglieder / Karte / Top 15
ListenpunktRegistrieren/Login
ListenpunktArbeitsgruppen
Listenpunkt? im neuen Schwätz
ListenpunktWerde Mathe-Millionär!
ListenpunktFormeleditor fedgeo
Schwarzes Brett
Aktion im Forum
Suche
Stichwortsuche in Artikeln und Links von Matheplanet
Suchen im Forum
Suchtipps

Bücher
Englische Bücher
Software
Suchbegriffe:
Mathematik bei amazon
Naturwissenschaft & Technik
In Partnerschaft mit Amazon.de
Kontakt
Mail an Matroid
[Keine Übungsaufgaben!]
Impressum

Bitte beachten Sie unsere Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, unsere Datenschutzerklärung und
die Forumregeln.

Sie können Mitglied werden. Mitglieder können den Matheplanet-Newsletter bestellen, der etwa alle 2 Monate erscheint.

Der Newsletter Okt. 2017

Für Mitglieder
Mathematisch für Anfänger
Wer ist Online
Aktuell sind 185 Gäste und 7 Mitglieder online.

Sie können Mitglied werden:
Klick hier.

Über Matheplanet
 
Zum letzten Themenfilter: Themenfilter:
Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Gockel Dune
Mathematik » Topologie » Quotiententopologie und "Verklebung"
Druckversion
Druckversion
Antworten
Antworten
Autor
Universität/Hochschule Quotiententopologie und "Verklebung"
Pter87
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 09.11.2018
Mitteilungen: 119
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-02-13 18:32


Irgendwie habe ich Probleme mit der Vorstellung von "Verklebung". Die einfachen Beispiele verstehe ich, z.B. wie man den Torus aus so einem Einheitsquadrat kriegt. Sobald es aber nur bisschen schwerer wird, verstehe ich überhaupt nicht mehr, wie man jetzt genau zu dem entsprechenden geometrischen Objekt gekommen ist. Habt ihr paar Tipps wie man das besser verstehen kann ?



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Triceratops
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 4319
Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-02-13 18:53


Welches Beispiel konkret verstehst du nicht?



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Red_
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.09.2016
Mitteilungen: 625
Aus: Erde
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-02-13 19:25


Hey,
es geht hier ''bloß'' um drei dimensionales Vorstellungsvermögen. Das kann man üben. Auch welche topologischen Objekte homöomorph/homotop/... sind kann man üben. Manche Sachen kann man sich einfach nicht vorstellen, so simpel sie auch erscheinen. Nehme ein Quadrat identifiziere die gegenüberliegenden Seiten jeweils in umgedrehter Richtung, schon erhälst du die projektive Ebene, welche du nicht in den \(\mathbb{R}^3\) einbetten kannst ohne Immersionen (Selbstüberschneidung). Gleiches gilt für die Kleinsche Flasche. Jedoch kannst du die Kleinsche Flasche gut gedanklich mit Überschneidungen verkleben (siehe die Schritt für Schritt Anleitung hier).



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Pter87
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 09.11.2018
Mitteilungen: 119
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-13 20:26


Ja, ein Beispiel war die von Red_ schon angesprochene projektive Ebene, wo man die gegenüberliegenden Seiten in umgedrehter Richtung identifiziert.

Da war auch so ein Beispiel, wo jemand die Fundamentalgruppe von T#T (Doppeltorus) berechnen wollte. Der hat  dann den Doppeltorus in der Mitte halbiert und danach die 2 einzelnen Tori durch jeweils ein Quadrat dargestellt, in deren Ecke noch zusätzlich eine Schleife war ?





  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Pter87
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 09.11.2018
Mitteilungen: 119
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-14 13:04


Bei folgendem Beispiel verstehe ich auch nicht genau wieso X/B anders aussieht als X/A.

math.stackexchange.com/questions/3296268/mathbbs2-sim-simeq-mathbbs2-vee-mathbbs1-where-0-0-1-sim-0




  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Red_
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.09.2016
Mitteilungen: 625
Aus: Erde
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-02-14 14:13


Hi,
beim ersten Beispiel kann ich dir leider nicht helfen, weil ich das dazu korrespondierende Bild nicht ganz im Kopf habe.

Zu deinem Link: A ist ein Bogen der vom Nordpol zum Südpol führt außerhalb der Sphäre. B genau so, nur dass B auf der Sphäre verläuft.
X/A heißt: A wird zu einem Punkt zusammenfallen. Erstmal formen wir homöomorph um: drücke die rechte Seite der Kugel nach links, sodass du eine Art Bohne erhält der Form ,,C'' (mit einer Dicke noch). Und der Bogen A gehe jetzt senkrecht vom oberen Punkt bei C runter zum unteren Punkt. X ist noch drei dimensional (vergiss die Tiefe mal) und A ist nur ein dimensional. A wird zu einem Punkt heißt: Die Linie kollabiert zu einem Punkt, d.h. wir ziehen die Linken immer weiter zusammen, bis sie zu einem Punkt schrumpft. So erhälst du genau das Bild recht bei X/A.
X/B geht analog: ziehen B immer weiter zusammen; die Kugel bleibt eine Kugel - Vorstellung: du hast eine Gummi-Haut über eine Kugel gezogen, dort malst du deine Linie B auf und ziehst die Gummi-Haut immer weiter zusammen, sodass sich B verkleinert und du um B ''überschüssiges Gummi'' hast, ist aber kein Problem. Wir formen nämlich homöomorph um, d.h. wir können die überschüssige Haut einfach platt und glatt drücken. Usw. die Endpunkte von A kommen sich immer näher, bis sie zu einem Punkt geworden sind.

Hoffe ich konnte helfen. Jeder hat seine eigenen Methoden, um sich Sachen vorzustellen und Übung macht den Meister. Setzt dich täglich 5 Minuten hin und stelle dir vor, wie sich der Raum um dich herum sich verzerrt, verdreht, du neue Sachen erschaffst aus Objekten. Spiel mit deinem Vorstellungsvermögen rum und du lernst eine neue Welt kennen   biggrin



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Pter87
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 09.11.2018
Mitteilungen: 119
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-14 14:46


X/A kann ich schon verstehen. Bei X/B verstehe ich die Vorstellung aber ich verstehe nicht, wieso ich mir das so vorstellen darf.



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Red_
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.09.2016
Mitteilungen: 625
Aus: Erde
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2020-02-14 15:51


In meinen Augen wäre die richtige Antwort: Das darfst du dir nicht so vorstellen. Das kannst du dir aber so vorstellen.
Leider ist die Topologie nie sehr rigoros durchgeführt worden bei meinen Erfahrungen mit den bisherigen Professoren und Büchern... Viel wird mit Vorstellung argumentiert, was natürlich kein mathematisches formales Argument ist. Aber bisher war es eben immer so, dass die Vorstellung auch mit der Wahrheit zusammengepasst hat, sodass man mit der Zeit faul wird und die Vorstellung direkt mit der Wahrheit gleichsetzt beim Homöomorphen-Umformungen bzw. homotope-Umformungen... Das musst du eben akzeptieren. Und natürlich kann man nicht beweisen, dass in voller Allgemeinheit die Vorstellung stets mit der Wahrheit zusammenfällt, jedoch wäre es glaube ich anstrengend dies immer und immer zu beweisen in jedem Beispiel von topologischen Räumen (auch wenn es in meinen Augen die einzig richtige Variante wäre - was passiert, wenn irgendwann mal doch die Vorstellung nicht mit der Wahrheit zusammenpasst, man es aber immer und immer wieder annimmt?)
Aber ich habe gelernt, dass diese Topologie Aufgaben, die in der Uni gestellt werden eben genau so gelöst werden sollen, wo man mit der Vorstellung die topologischen Räume homöomorph oder homotop im Kopf umformt, bis zu einem gewissen Grad, wo man das Problem leicht lösen kann.



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Pter87
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 09.11.2018
Mitteilungen: 119
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-14 18:14


Wieso kann den X/B nicht einfach wieder die Sphäre sein ?



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Vercassivelaunos
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.02.2019
Mitteilungen: 751
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2020-02-14 20:42

\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\span}{\operatorname{span}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align*}#1\end{align*}} \newcommand{\ket}[1]{\left\vert#1\right>} \newcommand{\bra}[1]{\left<#1\right\vert} \newcommand{\braket}[2]{\left<#1\middle\vert#2\right>} \newcommand{\braketop}[3]{\left<#1\middle\vert#2\middle\vert#3\right>} \newcommand{\mean}[1]{\left<#1\right>} \newcommand{\lvert}{\left\vert} \newcommand{\rvert}{\right\vert} \newcommand{\lVert}{\left\Vert} \newcommand{\rVert}{\right\Vert}\)
Hallo Pter87,

$X$ besteht ja nicht nur aus der Sphäre, sondern auch aus dem Bogen $A$. Der wurde nicht nur gedanklich eingefügt um die beiden Pole zu verbinden, sondern er ist Teil des betrachteten topologischen Raumes. Wenn du nur $B$ zusammenfallen lässt, dann bleibt der Bogen $A$ erhalten, nur dass seine Endpunkte auch miteinander identifiziert werden, weshalb er wie im dort gezeigten Bild zu einem Kreis wird.

Viele Grüße
Vercassivelaunos
\(\endgroup\)


  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Pter87
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 09.11.2018
Mitteilungen: 119
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-14 21:55


Achso ok, ich dachte, dass er die nur einzeln betrachtet. So macht es natürlich Sinn, dass dieser Kreis übrig bleibt.

Diese ganzen Konstruktionen mit dem Torus,der Sphäre und was man da noch alles konstruiert, das sind doch alles CW Komplexe oder ?





  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Pter87 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Neues Thema [Neues Thema] Antworten [Antworten]    Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2019 by Matroids Matheplanet
This web site was made with PHP-Nuke, a web portal system written in PHP. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]