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Analysis » Grenzwerte » Produkt einer bestimmt divergenten Folge und einer Nullfolge
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Universität/Hochschule Produkt einer bestimmt divergenten Folge und einer Nullfolge
TotoLaToto
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-02-13


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Kampfpudel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-02-13


Hey TotoLaToto,

Da ja \(a_n\) bestimmt divergiert, darf man doch o.B.d.A annehmen, dass \(a_n \neq 0\) für alle \(n \in \mathbb{N}\) gilt (da dies ja wegen der bestimmten Divergenz ab einem bestimmten Folgenglied sowieso der Fall ist).
Überlege dir nun, was du über die Folge \(\frac{1}{a_n}\) aussagen kannst und schreibe mal \(b_n=b_n \cdot \frac{a_n}{a_n}\)



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TotoLaToto
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-14


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Squire
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-02-14


Guten Morgen!

Du solltest nur von dem ausgehen, das in der Angabe steht. Das ist:

$a_n \to +\infty$ und $(a_n\cdot b_n)\to c \in \IR$.

Du nimmst aber an $a_n=n$ und $b_n=\frac{c}{n}$, was davon nicht gedeckt ist.

Du vermutest richtig, dass $\frac{1}{a_n} \to 0$. Das sollst du im ersten Schritt beweisen.

Sieh dir an die Definitionen für bestimmt divergente Folgen und für Nullfolgen. Dann versuche einen Beweis. Er könnte so beginnen: "Sei $\epsilon >0$ beliebig. Da $a_n$ bestimmt gegen $+\infty$ divergiert, gibt es ein $n_0$, so dass..."

Viel Erfolg und Grüße Squire




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TotoLaToto
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-14


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Kampfpudel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-02-15


Prinzipiell ja.

Da allerdings auch \(\lim\limits_{n \to \infty} a_n = - \infty\) gelten könnte, ist der Beweis noch unvollständig. Stattdessen kannst du aber mit der Tatsache, dass in jedem Fall \(\lim\limits_{n \to \infty} |a_n| = + \infty\) gilt, arbeiten. Am Beweis würde sich an sich nichts ändern (außer dass du halt ein paar mal \(a_n\) durch \(|a_n|\) ersetzt).

Du kennst doch sicher die "Rechenregel", dass falls \(\lim\limits_{n \to \infty} d_n = d\) und \(\lim\limits_{n \to \infty} e_n = e\) dann auch \(\lim\limits_{n \to \infty} d_n \cdot e_n = d \cdot e\) gilt. Das musst du nun einfach anwenden (was du ja im Prinzip auch gemacht hast, nur halt ein wenig komplizierter aufgeschrieben).



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TotoLaToto
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-15


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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2020-02-15


2020-02-15 00:40 - Kampfpudel in Beitrag No. 5 schreibt:
Da allerdings auch \(\lim\limits_{n \to \infty} a_n = - \infty\) gelten könnte, ist der Beweis noch unvollständig.

Warum könnte das gelten? Es steht doch explizit im Startbeitrag:

2020-02-13 21:04 - TotoLaToto im Themenstart schreibt:
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TotoLaToto
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-15


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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2020-02-15

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo,

sprecht ihr jetzt über die eigentliche Aufgabenstellung oder über deine 'Erweiterung'?

Laut Aufgabenstellung konvergiert \(a_n\) nämlich bestimmt gegen \(\infty=+\infty\).

@zippy: ich glaube, der TS wollte den Fall \(a_n\to -\infty\) oder eben ausschließlich die Forderung nach bestimmter Divergenz nebenbei auch noch behandeln.

EDIT: nein, das hatte Kampfpudel wohl in der Tat falsch verstanden.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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TotoLaToto
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-15


Mir ging es um die eigentliche Aufgabenstellung, weswegen ich jetzt etwas verwirrt war 😁 Ich hoffe ich habe das nicht zu unverständlich geschrieben.



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Kampfpudel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2020-02-16


Ja ich hatte nur bestimmt divergent im Kopf. Aber so wie ich das jetzt verstehe, steht das auch so in der originalen Aufgabenstellung.

Ich meinte damit nur, dass du den Beweis in Beitrag No.4 so umformulieren solltest:

Sei \(\epsilon >0\). Da \(|a_n| \to \infty\), existiert ein \(N \in \mathbb{N}\), sodass \(|a_n|\geq \frac{1}{\epsilon} +1\).
[...]

Alles weitere kann genau so stehen bleiben und du hast einen richtigen Beweis.



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