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Universität/Hochschule Homologie des Torus
Alif
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-02-14


Hallo Zusammen,

ich habe eine Nachfrage zur Berechnung der Homologie, konkret am Beispiel des Torus \(T^2\), die Berechnung mit Simplizialkomplex glaube ich verstanden zu haben, daher eine Ausführung von mir, wobei sich die Notation am Buch von Hatcher orientiert:

\(0 \rightarrow \mathbb{Z}^2 \rightarrow \mathbb{Z}^3 \rightarrow \mathbb{Z} \rightarrow 0 \\
H_i(T^2) \cong 0 \forall i \geq 3 \\
im(\partial_3)= 0 \\
\partial_2(U)=b-c+a , \partial_2(L)=a-c+b \\
\partial_2(U-L)=b-c+a-(a-c+b)=b-b-c+c+a-a=0 \\
ker(\partial_2)= \mathbb{Z} \Rightarrow H_2(T^2)= \mathbb{Z} \\
im(\partial_2)= \mathbb{Z} \\
\partial_1(a) = \partial_1(b) = \partial_1(c) = v-v = 0 \\
ker(\partial_1)= \mathbb{Z}^3 \Rightarrow H_1(T^2)= \mathbb{Z}^2 \\
im(\partial_1)= 0 \\
\partial_0(v)= 0 \\
ker(\partial_0)= \mathbb{Z} \Rightarrow H_0(T^2)= \mathbb{Z} \)

Die Idee habe ich wie gesagt verstanden, ich habe nur die Schreibweise mit Erzeugern und Äquivalenzklassen bewusst weggelassen, da ich damit Probleme habe, vielleicht könnte mir das jemand kurz erklären, hierzu:
\(H_0(T^2)= \langle [v] \rangle , H_1(T^2)= \langle [a],[b] \rangle , H_2(T^2)= \langle [U-L] \rangle\)

Zudem habe ich auch Probleme das gleiche Ergebnis mit Hilfe der Mayer-Vietoris-Sequenz zu erhalten, dazu habe ich schon englische Beispiele im Internet gefunden, aber dabei verwirrt mich immer, dass man Abbildungen definiert, von denen man weder Kern noch Bild sucht, außerdem kann man auch oft erkennen, dass bestimmte Abbildungen injektiv oder surjektiv sein müssen, vielleicht könnte mir jemand zum Torus mal einen komplett neuen Input geben und ich schaue dann nochmal, ob es dann klappt.

Danke schon jetzt für jede Hilfe.

Schöne Grüße
Alif



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Alif
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-16


Nachdem anscheinend keiner versteht, was ich wissen möchte, versuche ich es mal selbst, auch wenn das eine zweite Rechnung fordert:

Wir zerlegen \(T^2\) in \(A = B = S^1\) isomorph zur linken oder rechten Hälfte des Torus und der Schnitt ist dann \(A \cap B = S^1 \cup S^1\) also die disjunkte Vereinigung zweier 1-Sphären, dann ist der relevante Teil von Mayer-Vietoris, der nicht nur Null als Einträge liefert:
\(0 \rightarrow 0 \rightarrow H_2(T^2) \rightarrow \mathbb{Z}^2 \rightarrow \mathbb{Z}^2 \rightarrow H_1(T^2) \rightarrow \mathbb{Z}^2 \rightarrow \mathbb{Z}^2 \rightarrow H_0(T^2) \rightarrow 0 \)
Aufgrund der Exaktheit dieser Sequenz gilt \(ker f_n = im f_{n-1}\) wenn wir die Funktionen der Sequenz in der Zähl-Reihenfolge benennen.
\(k=2:
0 \rightarrow 0 \rightarrow H_2(T^2) \rightarrow \mathbb{Z}^2 \rightarrow \mathbb{Z}^2 \ \ mit \ Funktionen \ \ f_1, f_2, f_3 \ \ und \ \ f_4 \\
ker f_2 = 0 \\
f_4(a,b) = (a+b,a+b) \Rightarrow ker f_4 = im f_3 = \mathbb{Z}(1 , -1)^T = \mathbb{Z} \\
0 \rightarrow 0 \rightarrow H_2(T^2) \rightarrow \mathbb{Z} \rightarrow 0 \\
\Rightarrow H_2(T^2) = \mathbb{Z} \\
k=1:
\mathbb{Z}^2 \rightarrow \mathbb{Z}^2 \rightarrow H_1(T^2) \rightarrow \mathbb{Z}^2 \rightarrow \mathbb{Z}^2 \ \ mit \ Funktionen \ \ f_4, f_5, f_6 \ \ und \ \ f_7 \\
f_4(a,b) = (a+b,a+b) \Rightarrow im f_4 = ker f_5 = \mathbb{Z}(1 , 1)^T = \mathbb{Z} \\
f_7(a,b) = (a+b,a+b) \Rightarrow ker f_7 = im f_6 = \mathbb{Z} \\
0 \rightarrow \mathbb{Z} \rightarrow H_2(T^2) \rightarrow \mathbb{Z} \rightarrow 0 \\
\Rightarrow H_1(T^2) = \mathbb{Z}^2 \\
k=0:
\mathbb{Z}^2 \rightarrow \mathbb{Z}^2 \rightarrow H_0(T^2) \rightarrow 0 \ \ mit \ Funktionen \ \ f_7, f_8 \ \ und \ \ f_9 \\
im f_9 = 0 \\
f_7(a,b) = (a+b,a+b) \Rightarrow im f_7 = ker f_8 = \mathbb{Z} \\
0 \rightarrow \mathbb{Z} \rightarrow H_2(T^2) \rightarrow 0 \rightarrow 0 \\
\Rightarrow H_0(T^2) = \mathbb{Z} \)

Sollten hier Fehler sein, bitte ich um Erklärungen oder andere Hilfen zu Mayer-Vietoris, und danke schon jetzt für jede schnelle Antwort.



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