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Analysis » Funktionen » Nach Bogenlänge parametrisierte Kurve
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Universität/Hochschule J Nach Bogenlänge parametrisierte Kurve
ne6ukadnezar
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 14.05.2019
Mitteilungen: 20
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-02-16


Ich suche ein Beispiel für eine nach der Bogenlänge parametrisierte Kurve, die KEIN KREIS, KEINE GERADE und KEINE PARABEL ist. Ich finde kein Beispiel, bei dem ich die Funktion

\(s\left(t\right)=\int_{0}^{t}\left|v\left(\tau\right)\right|\text{d}\tau\)

einfach umkehren kann. Wenn jemand etwas weiß, wäre das gerade sehr hilfreich für mich.

Danke



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shadowking
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 04.09.2003
Mitteilungen: 3473
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-02-16


Hallo ne6ukadnezar,

kennst du die "Neilsche Parabel" $f(x)\,=\,\frac{2}{3}x^\frac{3}{2}$? Man kann sie auch als $(x(t),y(t))\,=\,(t^2,\frac{2}{3}\cdot t^3)$ darstellen. Bei diesem Beispiel dürfte die Parametrisierung nach $s$ recht einfach werden.

Gruß shadowking


-----------------
Niemand ist hoffnungsloser versklavt als der, der fälschlich glaubt frei zu sein.
- Johann Wolfgang von Goethe




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Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-02-18


Für die geometrisch parametrisierte Kurve / nach Bogenlänge parametrisierte Kurve bzw. natürliche Gleichung $\vec{x}(s)$ einer Kurve $\vec{x}(t)$ kannst Du Dir ja mittels $
s(t) = \int\limits_0^t |\dot{\vec{x}}(\tau)| \text{d}\tau
$ leicht ein paar Beispiele ausrechnen.

Z.B. die Schraubenlinie:
<math>

\pgfmathsetmacro\r{1}
\pgfmathsetmacro\k{1}
\pgfmathsetmacro\tMax{7*pi}

\pgfmathsetmacro\sMax{\r*sqrt(1+\k^2)*\tMax}
\pgfmathsetmacro\h{2*pi*\k*\r}
\pgfmathsetmacro\H{7*pi*\r}

\pgfdeclareplotmark{mymark}
{\shade[draw=none,ball color=red!88] (0pt,0pt) circle [radius=1.75pt];}

\pgfplotsset{compat=newest,
%clip=false,
view={130}{30},
axis lines=middle,
ymin=-1.75*\r,
ymax=1.75*\r,
xmin=-1.75*\r,
xmax=1.75*\r,
zmin=0,
zmax=1.2*\H,
xtick={-\r,...,\r},
ytick={-\r,...,\r},
ztick={0,10,...,\H},
xlabel=$x$,
ylabel=$y$,
zlabel=$z$,
axis line style={-latex},
%smooth,
}

\begin{tikzpicture}[font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle,
]
\begin{axis} [name=plot1,
title={$\vec{x}(t)=\begin{pmatrix}
r\cdot \cos(t)    \\    r\cdot \sin(t)    \\    r\cdot t
\end{pmatrix}$},
title style={at={(zticklabel* cs:1.1)}, anchor=south},
x label style={at={(ticklabel* cs:1.00)}, inner sep=2pt, anchor=east},
y label style={at={(ticklabel* cs:1.00)}, inner sep=2pt, anchor=west},
]
\addplot3 [-latex, blue, domain=0:\tMax, samples = 222, samples y=0, variable=\t] ({\r*cos(deg(t))}, {\r*sin(deg(t))}, {\r*t});

\addplot3 [densely dashed, gray, fill=none, domain=0:2*pi, samples = 111, samples y=0] ({\r*sin(deg(x))}, {\r*cos(deg(x))}, 0);
% Werte
\addplot3+[only marks, mark=mymark,
visualization depends on={value \thisrow{T} \as \Factor},
visualization depends on={value \thisrow{Anchor} \as \Anchor},
nodes near coords={$t= \Factor \pi$},
nodes near coords style={anchor=\Anchor, text=red},
] table [
x expr=\r*cos(deg(\thisrow{T}*pi)),
y expr=\r*sin(deg(\thisrow{T}*pi)),
z expr=\r*\thisrow{T}*pi,
] {
T           Anchor
0.7071      west
4.7071         west
};

%% Annotationen
%\node[align=left] at (0,0,-20){$\begin{array}{l}
%r=\r \\
%h = \h \\
%H = \H
%\end{array}$};
\end{axis}


\begin{axis}[name=plot2, at={($(plot1.east)+(-17mm,0)$)}, anchor=west,
title={$\vec{x}(s)=\begin{pmatrix}
r\cdot \cos\left(\dfrac{s}{\sqrt{2}r} \right)    \\[1em]
r\cdot \sin\left(\dfrac{s}{\sqrt{2}r} \right)    \\[1em]
\dfrac{s}{\sqrt{2}}
\end{pmatrix}$},
title style={at={(zticklabel* cs:1)}},
x label style={at={(ticklabel* cs:1.00)}, inner sep=2pt, anchor=east},
y label style={at={(ticklabel* cs:1.00)}, inner sep=2pt, anchor=west},
]
\addplot3 [-latex, blue, domain=0:\sMax, samples = 222, samples y=0, variable=\s] ({\r*cos(deg(s/(\r*sqrt(1+\k^2))))}, {\r*sin(deg(s/(\r*sqrt(1+\k^2))))}, {s/sqrt(1+\k^2)});

\addplot3 [densely dashed, gray, fill=none, domain=0:2*pi, samples = 111, samples y=0] ({\r*sin(deg(x))}, {\r*cos(deg(x))}, 0);
% Werte
\addplot3+[only marks, mark=mymark,
visualization depends on={value \thisrow{T} \as \Factor},
visualization depends on={value \thisrow{Anchor} \as \Anchor},
nodes near coords={\pgfmathparse{\r*sqrt(1+\k^2)*\Factor*pi}
$s= \pgfmathresult$},
nodes near coords style={anchor=\Anchor, text=red},
] table [
x expr=\r*cos(deg(\thisrow{T}*pi)),
y expr=\r*sin(deg(\thisrow{T}*pi)),
z expr=\r*\thisrow{T}*pi,
] {
T           Anchor
0.7071       west
4.7071         west
};


\addplot3 [red, thick, domain=0:3.1415, samples = 222, samples y=0, variable=\s] ({\r*cos(deg(s/(\r*sqrt(1+\k^2))))}, {\r*sin(deg(s/(\r*sqrt(1+\k^2))))}, {s/sqrt(1+\k^2)});

\end{axis}
\end{tikzpicture}

</math>




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Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-02-19


Beispiel: Logarithmische Spirale.

<math>
\pgfmathsetmacro\a{0.25}
\pgfmathsetmacro\k{0.125}
\pgfmathsetmacro\tMax{5.2*pi}
\pgfmathsetmacro\tMin{-\tMax}

\pgfmathsetmacro\r{1}

\tikzset{declare function={
K = \a/\k*sqrt(1+\k*\k);
t(\s)=ln(\s/K+1)/\k;
s(\t)=K*(exp(\k*\t)-1);
}}

\pgfmathsetmacro\sMax{s(\tMax)}
\pgfmathsetmacro\sMin{s(\tMin)}

\begin{document}

\pgfdeclareplotmark{mymark}
{\shade[draw=none,ball color=red!88] (0pt,0pt) circle [radius=1.75pt];}

\pgfplotsset{compat=newest,
clip=false,
% Axis
axis equal,
axis lines=middle,
ymin=-1.75*\r,
ymax=1.75*\r,
xmin=-1.75*\r,
xmax=1.75*\r,
%xtick={-\r,...,\r},
%ytick={-\r,...,\r},
xlabel=$x$,
ylabel=$y$,
axis line style={-latex},
% Title
title style={minimum height=10em},
% Plot
every axis plot/.append style={blue,
trig format =rad,
smooth,
samples=777,
},
every axis/.append style={
x label style={at={(ticklabel* cs:1.0)}, inner sep=2pt, anchor=north},
}, % Tut auch:
y label style={at={(ticklabel* cs:1.00)}, inner sep=2pt, anchor=east},
enlargelimits={abs=0.1},
}

\begin{tikzpicture}[font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle,
]
\begin{axis} [name=plot1,
title={$\vec{x}(t)=\begin{pmatrix}
a e^{kt} \cos(t) \\ a e^{kt} \sin(t)
\end{pmatrix}$},
]
\addplot[variable=\t, domain=\tMin:\tMax] ({\a*exp(\k*t)*cos(t)}, {\a*exp(\k*t)*sin(t)});

\addplot[red, variable=\t, domain=0:t(2)] ({\a*exp(\k*t)*cos(t)}, {\a*exp(\k*t)*sin(t)}) node[circle, fill, inner sep=1pt]{} node[anchor=north west]{\pgfmathparse{t(2)}$t=\pgfmathresult$};

%\addplot3 [densely dashed, gray, fill=none, domain=0:2*pi, samples = 111, samples y=0] ({\r*sin(deg(x))}, {\r*cos(deg(x))}, 0);
%% Werte
%\addplot3+[only marks, mark=mymark,
%visualization depends on={value \thisrow{T} \as \Factor},
%visualization depends on={value \thisrow{Anchor} \as \Anchor},
%nodes near coords={$t= \Factor \pi$},
%nodes near coords style={anchor=\Anchor, text=red},
%] table [
%x expr=\r*cos(deg(\thisrow{T}*pi)),
%y expr=\r*sin(deg(\thisrow{T}*pi)),
%z expr=\r*\thisrow{T}*pi,
%] {
%T           Anchor
%0.7071      west
%4.7071         west
%};

%% Annotationen
%\node[align=left] at (0,0,-20){$\begin{array}{l}
%r=\r \\
%h = \h \\
%H = \H
%\end{array}$};
\end{axis}


\begin{axis}[name=plot2, at={($(plot1.east)+(11mm,0)$)}, anchor=west,
title={$\vec{x}(s)=\begin{pmatrix}
a \left( \dfrac{s}{K} +1\right) \cos\left(\dfrac{\ln\left(\dfrac{s}{K}+1\right)}{k} \right)   \\[2.5em]
a \left( \dfrac{s}{K} +1\right) \sin\left(\dfrac{\ln\left(\dfrac{s}{K}+1\right)}{k} \right)
\end{pmatrix}~~ \text{mit}~
K=\dfrac{a}{k}\sqrt{1+k^2}$},
]
\addplot[variable=\s, domain=\sMin:\sMax] ({\a*exp(\k*t(s))*cos(t(s))}, {\a*exp(\k*t(s))*sin(t(s))});

\addplot[red, variable=\s, domain=0:2] ({\a*exp(\k*t(s))*cos(t(s))}, {\a*exp(\k*t(s))*sin(t(s))}) node[circle, fill, inner sep=1pt]{} node[anchor=north west]{$s=2$};

%\addplot3 [densely dashed, gray, fill=none, domain=0:2*pi, samples = 111, samples y=0] ({\r*sin(deg(x))}, {\r*cos(deg(x))}, 0);
%% Werte
%\addplot3+[only marks, mark=mymark,
%visualization depends on={value \thisrow{T} \as \Factor},
%visualization depends on={value \thisrow{Anchor} \as \Anchor},
%nodes near coords={\pgfmathparse{\r*sqrt(1+\k^2)*\Factor*pi}
%$s= \pgfmathresult$},
%nodes near coords style={anchor=\Anchor, text=red},
%] table [
%x expr=\r*cos(deg(\thisrow{T}*pi)),
%y expr=\r*sin(deg(\thisrow{T}*pi)),
%z expr=\r*\thisrow{T}*pi,
%] {
%T           Anchor
%0.7071       west
%4.7071         west
%};
%
%
%\addplot3 [red, thick, domain=0:3.1415, samples = 2, samples y=0, variable=\s] ({\r*cos(deg(s/(\r*sqrt(1+\k^2))))}, {\r*sin(deg(s/(\r*sqrt(1+\k^2))))}, {s/sqrt(1+\k^2)});

\end{axis}
\end{tikzpicture}

</math>



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