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Logik, Mengen & Beweistechnik » Relationen und Abbildungen » Definition Korrespondenz - Ist die leere Menge ebenfalls eine Korrespondenz?
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Kein bestimmter Bereich Definition Korrespondenz - Ist die leere Menge ebenfalls eine Korrespondenz?
Flatty
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-02-17


Hallo,

ich bin gerade (als Mathe-Laie) in einem Buch auf die Definition der Korrespondenz gestossen, die dort wie folgt aufgefuehrt ist:

Definition: Fuer zwei Mengen M und N ist die Menge K geordneter Paare eine Korrespondenz zwischen M und N, falls fuer jedes [x,y] aus K gilt, dass x Element von M und y Element von N ist.

Soweit so gut. In einem Nebensatz weiter unten sagt der Autor dann Folgendes (ohne weitere Begruendung etc.): "Die kleinstmögliche Korrespondenz ist also die leere Menge, also diejenige Korrespondenz, die 0 geordnete Paare enthält".

Jetzt bin ich etwas verwirrt ob das wirklich stimmt bzw. ob dies die Definition direkt hergibt. Denn steht nicht in der Definition, das K nur eine Korrespondenz ist, wenn fuer alle [x,y] aus K ... gilt? Wenn K nun leer ist, gibt es ja keine Elemente in K und dann kann das K doch ueberhaupt keine Korrespondenz im Sinne der Definition sein, oder?

Klar, ich koennte jetzt sagen wenn K leer ist und wenn dann [x,y] Element von K waere, so waere dies ein Widerspruch und daraus (was ja niemals eintreten kann) kann ich jetzt folgern, was ich will, insbesondere das K eine Korrespondenz ist (Oder aber auch, das K keine Korrespondenz ist). Aber selbst dann, wuerde ich vermuten, das K keine Korrespondenz sein kann, weil ich ja etwas angenommen habe was der Definition widerspricht, oder? Denn die Definition sagt doch etwas ueber Korrespondenz und der Beziehung [x,y] ist Element von K aus und in meiner "Herleitung" gehe ich von etwas Falschem aus, naemlich das [x,y] nicht in K ist (da K leer ist). Und da kann ich ja alles herleiten. Also ich bin der Ansicht, man muss gesondert zeigen das die leere Menge ebenfalls eine Korrespondenz ist oder diese gleich in die Definition mit aufnehmen. Liege ich da richtig oder falsch?

Bin ein wenig verwirrt und ich hoffe ich konnte meinen Punkt klar machen :)

Liebe Gruesse
Flatty



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Vercassivelaunos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-02-17

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Hallo Flatty,

Aussagen der Form "Für alle $x\in X$ gilt ..." sind immer erfüllt, wenn $X$ die leere Menge ist. Es gibt nämlich kein Element aus $X$, das die Bedingung "..." nicht erfüllt. Im Englischen nennt man das auch "vacuous truth", also eine leere Wahrheit.

Viele Grüße
Vercassivelaunos
\(\endgroup\)


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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-02-17


Hallo Flatty,

als Ergänzung zu Vercassivelaunos:

2020-02-17 18:02 - Flatty im Themenstart schreibt:
Klar, ich koennte jetzt sagen wenn K leer ist und wenn dann [x,y] Element von K waere, so waere dies ein Widerspruch und daraus (was ja niemals eintreten kann) kann ich jetzt folgern, was ich will, insbesondere das K eine Korrespondenz ist (Oder aber auch, das K keine Korrespondenz ist).

Nein, du kannst nicht folgern, dass die leere Menge keine Korrespondenz ist. Denn die Negation von "für alle x gilt A" ist nicht "für alle x gilt nicht A".



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tactac
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-02-17

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2020-02-17 18:39 - StrgAltEntf in Beitrag No. 2 schreibt:
Hallo Flatty,

als Ergänzung zu Vercassivelaunos:

2020-02-17 18:02 - Flatty im Themenstart schreibt:
Klar, ich koennte jetzt sagen wenn K leer ist und wenn dann [x,y] Element von K waere, so waere dies ein Widerspruch und daraus (was ja niemals eintreten kann) kann ich jetzt folgern, was ich will, insbesondere das K eine Korrespondenz ist (Oder aber auch, das K keine Korrespondenz ist).

Nein, du kannst nicht folgern, dass die leere Menge keine Korrespondenz ist. Denn die Negation von "für alle x gilt A" ist nicht "für alle x gilt nicht A".

Doch. Wenn $K$ leer ist, kann jedes Element von $K$ zum Beweis von Beliebigem verwendet werden.
Wenn $K$ leer ist, kann man deshalb insbesondere zeigen: "$\forall k\in K.\ K \text { ist keine Korrespondenz}$". (Das ist jedoch natürlich nicht dasselbe wie "$K$ ist keine Korrespondenz".)
\(\endgroup\)


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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-02-18

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2020-02-17 23:59 - tactac in Beitrag No. 3 schreibt:
"$\forall k\in K.\ K \text { ist keine Korrespondenz}$".

Das müsstest du noch mal erläutern  😮
\(\endgroup\)


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tactac
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-02-18

\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]} \newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner} \newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}\)
2020-02-18 00:26 - StrgAltEntf in Beitrag No. 4 schreibt:
2020-02-17 23:59 - tactac in Beitrag No. 3 schreibt:
"$\forall k\in K.\ K \text { ist keine Korrespondenz}$".

Das müsstest du noch mal erläutern  😮
Was, echt??  😮

Also: Angenommen war: $K$ ist leer. Zu zeigen: $\forall k\in K.\ \text{(egal, was)}$.
Hierzu sei $k\in K$ beliebig. In diesem Kontext noch zu zeigen: (egal, was). Da $K$ leer ist, haben wir mit $k\in K$ einen Widerspruch. Also folgt (egal, was). Damit sind wir fertig.

Und nun spezialisiere auf (egal, was)="$K$ ist keine Korrespondenz".
\(\endgroup\)


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Flatty
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-18


Das ist genau was ich meine bzw. mich verwirrt. Ich bin der (bescheidenen) Meinung, dass aus der Definition nicht exakt hervorgeht ob die leere Menge nun eine Korrespondenz ist oder nicht und dies in diesem Fall einer erweiterten/weiteren Definition bedarf.

Wuerde man hingegen definieren, eine Korrespondenz sei Teilmenge des Kreuzproduktes aus MxN, dann wuerde ich ja sofort einsehen dass die leere Menge ebenfalls eine Korrespondenz ist. Aber in der gegebenen Definition steht aber lediglich nur, wenn [x,y] in K ist aber nichts darueber was K ist, wenn [x,y] nicht in K enthalten ist. Aber in diesem Fall dann genau darauf zu schliessen das K Korrespondenz ist, hat fuer mich irgendwie einen faden Beigeschmack.

Also was stimmt nun?



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tactac
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2020-02-18


Die leere Menge ist eine Korrespondenz. Vakuöserweise.



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Vercassivelaunos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2020-02-18

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Die leere Menge ist eine Korrespondenz. Tactacs Ausführungen sind schon richtig, aber beachte auch seine Aussage:

Wenn $K$ leer ist, kann man deshalb insbesondere zeigen: "$\forall k\in K.\ K \text { ist keine Korrespondenz}$". (Das ist jedoch natürlich nicht dasselbe wie "$K$ ist keine Korrespondenz".)

Hervorhebung von mir. Die Aussage ist im Prinzip: Aus $k\in K$ folgt, dass $K$ keine Korrespondenz ist. Es ist aber $k$ niemals Element von $K$, da $K$ leer ist. Die Prämisse $k\in K$ ist also nie erfüllt, entsprechend kannst du auch nicht auf die aus der (unwahren) Prämisse folgende Aussage schließen, $K$ sei keine Korrespondenz.

Ganz allgemein: die leere Menge erfüllt immer alle Anforderungen an ihre Elemente. Denn die Verneinung von „für alle $x\in X$ gilt $A$“ ist „Es existiert ein $x\in X$, für das $A$ nicht gilt“. Und da in unserem Fall überhaupt gar kein $x\in X$ existiert, existiert natürlich auch keins, das $A$ nicht erfüllt.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.6 begonnen.]
\(\endgroup\)


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Flatty
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-18


Wenn ich den Wikipedia-Artikel richtig verstehe (das Cell-Phone Beispiel) waere aber auch "Die leere Menge ist keine Korrespondenz" Vokuoeserweise wahr.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.7 begonnen.]



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Vercassivelaunos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2020-02-18

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Ist es nicht. Wenn du die Definition der Korrespondenz nochmal auseinanderpfriemelst, dann ist „$K$ ist eine Korrespondenz“ eine Aussage darüber, dass alle Elemente von $K$ eine bestimmte Eigenschaft erfüllen. In diesem Fall: Für alle $k\in K$ gilt $k\in M\times N$. Solche Aussagen sind für die leere Menge immer vakuöserweise wahr. Was ebenfalls vakuöserweise (übrigens danke tactac für dieses Wort :D) wahr ist, ist die Aussage: „Für alle $k\in K$ gilt $k\not\in M\times N$“. Das ist aber nicht die selbe Aussage wie „$K$ ist keine Korrespondenz“. Das eine folgt nicht aus dem anderen, weder in der einen, noch in der anderen Richtung.
\(\endgroup\)


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Flatty
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-18


Mir schwirrt ein wenig der Kopf :)

Also wenn ich den Wiki-Eintrag zu "vacous truth" speziell den Abschnitt "Scope of concept" richtig verstehe, ist die Aussage P => Q "vacously true", wenn bekannt ist, dass P immer falsch ist. Auch das Beispiel fuer die leere Menge ist runter gebrochen auf:

Wenn fuer alle x in A  gilt Q(x) und A ist leere Menge, so ist auch diese Aussage "vacously true". Es wird aber ueberhaupt keine Aussage ueber Q gemacht, also ueber dessen Inhalt (ich glaube das nennt man extensional?).

Wenn aber diese Aussage immer wahr ist, weil die Praemisse falsch ist, woher weiss ich dann ob:

Fuer alle x in der leeren Menge gilt "Die leere Menge ist Korrespondenz"
oder
Fuer alle x in der leeren Menge gilt "Die leere Menge ist keine Korrespondenz"

gilt?

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.9 begonnen.]



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tactac
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2020-02-18


2020-02-18 10:43 - Flatty in Beitrag No. 11 schreibt:
[...]
Wenn aber diese Aussage immer wahr ist, weil die Praemisse falsch ist, woher weiss ich dann ob:

Fuer alle x in der leeren Menge gilt "Die leere Menge ist Korrespondenz"
oder
Fuer alle x in der leeren Menge gilt "Die leere Menge ist keine Korrespondenz"

gilt?

Das ist doch ganz einfach: die erste Aussage gilt. (Die zweite auch.)



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Akura
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2020-02-18


Ich finde es bei solchen Aussagen immer hilfreich, etwas Greifbares und Absurdes zu nehmen:

Such dir einen leeren Tisch. (Oder stell' ihn dir vor...) Ist dann die Aussage "Alle Weinflaschen auf diesem Tisch sind lila" wahr oder falsch?


-----------------
Lieber fünfmal nachgefragt als einmal nachgedacht.



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Flatty
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-18


2020-02-18 11:31 - Akura in Beitrag No. 13 schreibt:
Such dir einen leeren Tisch. (Oder stell' ihn dir vor...) Ist dann die Aussage "Alle Weinflaschen auf diesem Tisch sind lila" wahr oder falsch?

Naja, ich haette ja vor der Diskussion noch gedacht "Beides" :)

Aber ich glaube dein Vergleich hinkt etwas. Weil Du eine Aussage ueber die Weinflaschen machst, die auf dem Tisch stehen. Aber in dem Korrespondenz Beispiel wuerden wir ja eine Aussage ueber den Tisch machen.

Also wenn wir die Definition anhand Deines Beispiels etwas umdeuten, waere es ja so: Wenn Weinflaschen auf dem Tisch stehen, so nennen wir diesen Tisch "Weintisch"

Aber angeblich folgt nun aus dem "vacuous truth" nun:

Es stehen keine Weinflaschen auf dem Tisch => Der Tisch ist ein Weintisch!

Denn tactac sagt ja in Beitrag No 7.


Die leere Menge ist eine Korrespondenz. Vakuöserweise.

Also der leere Tisch ist ein Weintisch.

Mir stellt es sich so dar, als wuerde ich die Eigenschaft der Menge (in der Definition) ueber Ihre Elemente bestimmen. Nun hat eine Menge keine Elemente, wie koennen aber keine Elemente die Eigenschaft einer Menge bestimmen, die nur ueber ihre Elemente bestimmt ist?

Ich hoffe Du verstehst was ich meine?





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Akura
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, eingetragen 2020-02-18


Ah... mein Beispiel war eher dazu gedacht, "vacuous" Aussagen zu illustrieren...

Auf deine Situation bezogen wäre wohl das Folgende besser:
Wir definieren ein "Bücherregal" als ein Regal, für das gilt, dass alle Gegenstände in ihm Bücher sind. Ist dann ein leeres Regal ein Bücherregal?

(Hier kann man sehr schnell in Philosophie abdriften... Ist ein Haus ein Haus, auch wenn niemand darin wohnt? Ist ein Schiff ein Schiff, wenn es in einem Trockendock liegt? Darum sollte man bei solchen Beispielen immer ganz  streng mathematisch argumentieren.)

Das Entscheidende ist, dass du erst einmal verstehst (und glaubst...), dass Aussagen über Elemente der leeren Menge immer wahr sind. Erst im Anschluss willst du das auf die Definition von Korrespondenzen anwenden.


-----------------
Lieber fünfmal nachgefragt als einmal nachgedacht.



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tactac
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, eingetragen 2020-02-18


2020-02-18 11:50 - Flatty in Beitrag No. 14 schreibt:

Also wenn wir die Definition anhand Deines Beispiels etwas umdeuten, waere es ja so: Wenn Weinflaschen auf dem Tisch stehen, so nennen wir diesen Tisch "Weintisch"

Aber angeblich folgt nun aus dem "vacuous truth" nun:

Es stehen keine Weinflaschen auf dem Tisch => Der Tisch ist ein Weintisch!

Es kommt schon auf die Quantoren an, die verwendet werden.
Eine wirklich zu Korrespondenzen analoge Definition eines Weintisches würde etwa lauten: Wenn jedes Ding, das auf dem Tisch steht, eine Weinflasche ist, so nennen wir diesen Tisch "Weintisch".

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.14 begonnen.]



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Flatty
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-18


Hi,

ich glaube wir naehern uns so langsam meinem Verstaendnisproblem bzw. dem Knackpunkt :)

Du deutest die Definition von oben wie folgt:

2020-02-18 12:04 - Akura in Beitrag No. 15 schreibt:
Wir definieren ein "Bücherregal" als ein Regal, für das gilt, dass alle Gegenstände in ihm Bücher sind. Ist dann ein leeres Regal ein Bücherregal?

Waere das nicht dann so eine Aussage wie:
Wenn das Regal R ein Buecherregal ist, folgt daraus fuer alle x in R gilt, x ist ein Buch.

Ich deute die Definition "Fuer zwei Mengen M und N ist die Menge K geordneter Paare eine Korrespondenz zwischen M und N, falls fuer jedes [x,y] aus K gilt, dass x Element von M und y Element von N ist" aber im Buchgleichnis eher so:

FALLS in der Menge R nur Buecher enthalten sind => R ist ein Buecherregal

in der originalen Definnition entsprechend

FALLS fuer jedes [x,y] aus K gilt ... => K ist Korrespondenz. (Denn waere z.B. irgendein Element in K kein geordnetes Paar, so waere ja auch K keine Korrespondenz mehr)


Dein Buechervergleich wuerde ich bei der Korrespondenz dann eher so verstehen:

Wir definieren eine Korrespondenz als eine Menge, fuer die gilt, das alle Elemente geordnete Paare sind.

Verstehst Du was ich meine? Oder rede ich wirr? :)

Nochmal kurz: Ich denke Du sagst mit Deiner Buecherdefinition etwas ueber die Elemente aus, die im Buecherregal enthalten sind. Und ich verstehe es aber so, das die Elemente innerhalb des Regals, das Regal zu einem Buecherregal machen.

Ich meine dies entspricht doch auch mehr der Intuition oder? Wenn ich im Keller zwei Kalax-Regale habe. In einem habe ich Wein in dem anderen Buecher. Und ich raeume jetzt beide Regale um wird doch das Weinregal zum Buecherregal (vice versa). Also bestimmen die Elemente im Regal den Typ. Und wenn ich nun beide Regale leer raeume, habe ich dann zwei Wein und zwei Buecherregale?






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Akura
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.18, eingetragen 2020-02-18

\(\begingroup\)\(\newcommand{\bN}{\mathbb{N}} \newcommand{\bZ}{\mathbb{Z}} \newcommand{\bQ}{\mathbb{Q}} \newcommand{\bR}{\mathbb{R}} \newcommand{\bC}{\mathbb{C}} \)
2020-02-18 13:09 - Flatty in Beitrag No. 17 schreibt:
2020-02-18 12:04 - Akura in Beitrag No. 15 schreibt:
Wir definieren ein "Bücherregal" als ein Regal, für das gilt, dass alle Gegenstände in ihm Bücher sind. Ist dann ein leeres Regal ein Bücherregal?

Waere das nicht dann so eine Aussage wie:
Wenn das Regal R ein Buecherregal ist, folgt daraus fuer alle x in R gilt, x ist ein Buch.

Ja, aber Definitionen funktionieren genau anders herum!
Für alle x in R gilt, x ist ein Buch $\Rightarrow$ R ist ein Bücherregal.

Wenn man sowas als normalen deutschen Satz formuliert, muss man ein bisschen vorsichtiger sein. Und ich bin mit Wörtern nicht sehr geschickt... Tactac hat es in Beitrag #16  viel schöner gemacht!

2020-02-18 13:09 - Flatty in Beitrag No. 17 schreibt:
 Ich meine dies entspricht doch auch mehr der Intuition oder? Wenn ich im Keller zwei Kalax-Regale habe. In einem habe ich Wein in dem anderen Buecher. Und ich raeume jetzt beide Regale um wird doch das Weinregal zum Buecherregal (vice versa). Also bestimmen die Elemente im Regal den Typ. Und wenn ich nun beide Regale leer raeume, habe ich dann zwei Wein und zwei Buecherregale?

Ja, die Intuition passt schon. Aber es ist ein Unterschied, ob man sagt "Ein Bücherregal darf nur Gegenstände enthalten, die Bücher sind" oder "Ein Bücherregal muss Bücher enthalten und darf sonst nicht anderes enthalten."
Im ersten Fall sind leere Regale Bücherregale, im zweiten Fall nicht. Welche von beiden Definitionen sinnvoller ist, hängt davon ab, was in der Praxis bessere Ergebnisse liefert. (Oder davon, was dem Mathe Prof besser gefällt...)
Ein Beispiel aus der Geschichte der Mathematik: Früher war 1 eine Primzahl. Allerdings treffen die meisten Aussagen, die für alle anderen Primzahlen gelten, nicht auf die 1 zu. Darum ist es einfacher, die Definition von "Primzahl" anzupassen als alle Aussagen einzuleiten mit "Sei p eine Primzahl außer 1..."

Aber bitte gut darauf achten, ob es gerade um eine Aussage an sich geht oder um eine Definition!
Die Aussage "Alle Bücher in diesem Regal sind von Hans Wurst geschrieben" kann für ein konkretes Regal wahr oder falsch sein und ist insbesondere wahr, wenn das Regal leer ist.
Die Definition "Wir nennen ein Regal verwurstet, wenn alle Bücher darin  von Hans Wurst geschrieben wurden" ist im Allgemeinen weder wahr noch falsch, sondern höchstens sinnvoll oder sinnlos.

Ob die Definition von "Korrespondenz" an sich sinnvoll, nützlich oder intuitiv ist hat nichts damit zu tun, ob die leere Menge unter dieser Definition eine Korrespondenz ist oder nicht.




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Flatty
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Geistesblitz: Ist das "falls" in der Definition eventuell als "genau dann, wenn" zu lesen?

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.17 begonnen.]



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Flatty
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Ok, ich versuche es nochmal. Ich hoffe ich habe es jetzt:

Fuer mich besagt die Definition der Korrespondenz folgendes (verkuerzt) aus:

   Wenn alle Elemente in K Paare sind => K ist Korrespondenz.

Damit kann ich nun einfach Beweisen, dass die leere Menge eine Korrespondenz ist. Denn ich muss ja nur zeigen, dass fuer alle Elemente in K gilt, das diese Paare sind.

Also zu zeigen waere: Fuer alle x in K gilt x ist Paar, dann folgt daraus das K eine Korrespondenz ist.
Da nun aber x in K niemals erfuellt sein kann, wenn K leer ist, gilt "x ist ein geornetes Paar" immer (Und das wie ich gelernt habe, wegen der "vacuous truth"). Somit ist gezeigt das alle x in K Paare sind und daraus folgt K ist Korrespondenz.

Und da vermutlich das geschulte mathematische Auge dies auf einen Blick sieht, muss man dies nicht gesondert beweisen und der Autor dieser Definition darf direkt darunter schreiben "Die kleinstmögliche Korrespondenz ist also die leere Menge, also diejenige Korrespondenz, die 0 geordnete Paare enthält"?

Das war ja die urspruengliche Frage, ob der Autor diese Aussage direkt aus der Definition treffen kann oder eventuell noch zeigen muss das die leere Menge eine Korrespondenz ist (geschweige denn die Kleinstmoegliche).



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Akura
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2020-02-18 13:46 - Flatty in Beitrag No. 19 schreibt:
Geistesblitz: Ist das "falls" in der Definition eventuell als "genau dann, wenn" zu lesen?

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.17 begonnen.]

Im Wesentlichen ja.
Es ist zu beachten, dass dabei eine Richtung trivial ist, da es ja um eine Definition geht. Wenn wir also sagen "Objekt A ist definiert durch Eigenschaften x, y und z", so ist es klar, dass alle A's die Eigenschaften x, y und z hat. Ob ein konkretes Ding nun die Eigenschaften x, y und z erfüllt und als A bezeichnet werden kann, ist die interessante Frage.


2020-02-18 14:34 - Flatty in Beitrag No. 20 schreibt:
Fuer mich besagt die Definition der Korrespondenz folgendes (verkuerzt) aus:

   Wenn alle Elemente in K Paare sind => K ist Korrespondenz.

Damit kann ich nun einfach Beweisen, dass die leere Menge eine Korrespondenz ist. Denn ich muss ja nur zeigen, dass fuer alle Elemente in K gilt, das diese Paare sind.

Also zu zeigen waere: Fuer alle x in K gilt x ist Paar, dann folgt daraus das K eine Korrespondenz ist.

In sich richtig, aber inhaltlich falsch. Bei Korrespondenzen geht es prinzipiell nur um Mengen, die Paare enthalten. Solche können dann eine Korrespondenz sein, wenn diese Paare/Elemente eine bestimmte zusätzliche Eigenschaft erfüllen. Also: Eine Menge geordneter Paare ist (genau dann) eine Korrespondenz, wenn bla bla bla...

(Vergleiche mit dem Bücherregal. Wir definieren ein Bücherregal als Regal, dass eine bestimmte Eigenschaft erfüllt. Ob es andere Möbelstücke gibt, ist uns egal; uns interessieren von vornherein nur Regale.)




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Flatty
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2020-02-18 15:01 - Akura in Beitrag No. 21 schreibt:
Es ist zu beachten, dass dabei eine Richtung trivial ist, da es ja um eine Definition geht. Wenn wir also sagen "Objekt A ist definiert durch Eigenschaften x, y und z", so ist es klar, dass alle A's die Eigenschaften x, y und z hat. Ob ein konkretes Ding nun die Eigenschaften x, y und z erfüllt und als A bezeichnet werden kann, ist die interessante Frage.

Wenn also M und N beliebige Mengen und K eine Menge geordneter Paare ist, dann...

...waere die triviale Richtung: Wenn K Korrespondenz ist => Fuer alle [x,y] aus K gilt, das x aus M und y aus N ist.

Die "interessante" waere dann: Wenn fuer alle [x,y] aus K gilt, das x aus M und y aus N ist => K ist Korrespondenz.

Und um nun zu zeigen, das ein "Menge K" eine Korrespondenz ist, muss ich zeigen das K eine Menge geordneter Paare ist und fuer alle [x,y] aus K gilt, das x aus M und y aus N. Denn dann folgt direkt (aus der Definition), das K eine Korrespondenz ist.

Behauptung ist: {} ist Korrespondenz
Beweis:
1.) Um zu zeigen, das {} eine Menge geordneter Paare ist, muss ich zeigen, dass fuer alle x aus {} gilt dass x die Form [u,v] hat. Da aber hier K die leere Menge ist, gilt nach dem Prinzip der "vacuous truth" schon das alle x aus K die Form [u,v] haben. Dehslb ist {} eine Menge geordneter Paare.

2.) Um die Korrespondenz endgueltig nachzuweisen, muss ich jetzt zeigen, das fuer alle [x,y] aus {} gilt das x aus M und y aus N ist. Da K aber nun auch hier leere Menge ist, gilt wieder nach dem Prinzip der "vacuous truth" schon das "x aus M und y aus N" ist. Und wenn das gilt, folgt aus der Definition das {} eine Korrespondenz ist.

Wird jetzt so ein Schuh draus?
Danke fuer Deine "Engelsgeduld" :)




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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]} \newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner} \newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}} \newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]} \newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner} \newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}} \newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]} \newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner} \newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}} \newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]} \newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner} \newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}\)
Nachtrag:

2020-02-18 00:49 - tactac in Beitrag No. 5 schreibt:
2020-02-18 00:26 - StrgAltEntf in Beitrag No. 4 schreibt:
2020-02-17 23:59 - tactac in Beitrag No. 3 schreibt:
"$\forall k\in K.\ K \text { ist keine Korrespondenz}$".

Das müsstest du noch mal erläutern  😮
Was, echt??  😮

Ja, sorry, war dumm von mir. Ich dachte schon, du hättest zu viel am Zaubertrank genascht, und würdest behaupten, dass die leere Menge gleichzeitig Korrespondenz und nicht Korrespondenz ist.  😉

Obwohl du ja in #3 explizit geschrieben hattest "Das ist jedoch natürlich nicht dasselbe wie "K ist keine Korrespondenz"".
\(\endgroup\)


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Akura
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2020-02-18 17:14 - Flatty in Beitrag No. 22 schreibt:
2020-02-18 15:01 - Akura in Beitrag No. 21 schreibt:
Es ist zu beachten, dass dabei eine Richtung trivial ist, da es ja um eine Definition geht. Wenn wir also sagen "Objekt A ist definiert durch Eigenschaften x, y und z", so ist es klar, dass alle A's die Eigenschaften x, y und z hat. Ob ein konkretes Ding nun die Eigenschaften x, y und z erfüllt und als A bezeichnet werden kann, ist die interessante Frage.

Wenn also M und N beliebige Mengen und K eine Menge geordneter Paare ist, dann...

...waere die triviale Richtung: Wenn K Korrespondenz ist => Fuer alle [x,y] aus K gilt, das x aus M und y aus N ist.

Die "interessante" waere dann: Wenn fuer alle [x,y] aus K gilt, das x aus M und y aus N ist => K ist Korrespondenz.

Und um nun zu zeigen, das ein "Menge K" eine Korrespondenz ist, muss ich zeigen das K eine Menge geordneter Paare ist und fuer alle [x,y] aus K gilt, das x aus M und y aus N. Denn dann folgt direkt (aus der Definition), das K eine Korrespondenz ist.

Behauptung ist: {} ist Korrespondenz
Beweis:
1.) Um zu zeigen, das {} eine Menge geordneter Paare ist, muss ich zeigen, dass fuer alle x aus {} gilt dass x die Form [u,v] hat. Da aber hier K die leere Menge ist, gilt nach dem Prinzip der "vacuous truth" schon das alle x aus K die Form [u,v] haben. Dehslb ist {} eine Menge geordneter Paare.

2.) Um die Korrespondenz endgueltig nachzuweisen, muss ich jetzt zeigen, das fuer alle [x,y] aus {} gilt das x aus M und y aus N ist. Da K aber nun auch hier leere Menge ist, gilt wieder nach dem Prinzip der "vacuous truth" schon das "x aus M und y aus N" ist. Und wenn das gilt, folgt aus der Definition das {} eine Korrespondenz ist.

Wird jetzt so ein Schuh draus?
Danke fuer Deine "Engelsgeduld" :)



So passt jetzt alles!


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