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Analysis » Integration » Geschwindigkeit in Zylinderkoordinaten
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Universität/Hochschule J Geschwindigkeit in Zylinderkoordinaten
Lambda88
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Dabei seit: 08.05.2014
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-02-19


Hallo Zusammen,

die Berechnung von der Geschwindigkeit in Zylinderkoordinaten ist mir noch nicht so ganz vertraut, weswegen ich eine Übungsaufgabe dazu lösen wollte.



Es geht um den Aufgabenteil b und c. Habe nun probiert die Geschwindigkeit mit der rot einmarkierten Formel zu berechnen und habe dann folgenden Ausdruck erhalten.



Jetzt bin ich mir bloß nicht sicher ob ich alles richtig gemacht habe, denn im Aufgabenteil c muss man jetzt die Länge der Kurve berechnen oder besser gesagt den Ausdruck in c herleiten. Mein Problem ist jetzt nur, dass man für c nur einen Punkt bekommt und wenn ich meinen Ausdruck so ansehen, scheint es mir um eine recht komplizierte Berechnung zu handeln.  Für wesentlich einfachere Aufgaben hat man bereits 3 Punkte bekommen, weswegen ich mir nicht sicher bin, ob ich die Geschwindigkeit richtig berechnet habe?



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MontyPythagoras
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 13.05.2014
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Aus: Hattingen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-02-19


Hallo Lambda88,
ich habe nicht alles durchgelesen, aber ich sehe auf Anhieb, dass die Herleitung gar nicht richtig sein kann, denn:
$$-\frac{\cos\omega t}T+\sin\omega t$$taucht dort in einer Klammer auf. Mit anderen Worten: die Einheiten der beiden Terme sind unterschiedlich und daher können sie nicht addiert werden. Da ist Dir ein $\omega$ verloren gegangen. Außerdem kannst Du sicher die quadrierten Klammern ausmultiplizieren und den Ausdruck unter der Wurzel stark vereinfachen, denn man kann auch noch $e^{-\frac tT}$ ausklammern und leicht integrieren, um auf die Bahnlänge L kommen.

Ciao,

Thomas



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MontyPythagoras
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Dabei seit: 13.05.2014
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-02-20


... um das Ganze ein bisschen abzukürzen, solltest Du Dir bewusst machen, dass die drei Einheitsvektoren in Deiner rot umrandeten Gleichung alle orthogonal zueinander sind. Das heißt, dass für den Betrag der Geschwindigkeit gilt:
$$v^2=\dot r^2+r^2\dot\varphi^2+\dot z^2$$$$|\vec v|=v=\sqrt{\dot r^2+r^2\dot\varphi^2+\dot z^2}$$Dann kannst Du Dir den ganzen Kosinus- und Sinusschnickschnack sparen.

Ciao,

Thomas



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Lambda88
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-21


Vielen Dank MontyPythagoras für deine Hilfe und den Tipp mit dem Quadrat von v.

Ich habe den Tipp entsprechend umgesetzt und wie du schon sagtest, tauchen so erst gar keine Terme mit Sinus und Cosinus auf. In den rot markierten Kästchen habe ich dann den Exponential-Term ausgeklammert. Jetzt muss ich nur noch das Integral ganz unten nach t integrieren, um die Länge der Bahn zu erhalten, oder?






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MontyPythagoras
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-02-21


Hallo Lambda88,
prinzipiell ja, aber Du hast ein paar Fehler eingebaut. Ich korrigiere mal Deine Formeln ein wenig. Die rot umrandete Formel ist richtig. Doch dann sollte folgen:
$$\vec v^2=e^{-2\frac t\tau}\left(\frac{p_o^2}{\tau^2}+p_0^2\omega^2+\frac{z_0^2}{\tau^2}\right)$$$$v=e^{-\frac t\tau}\sqrt{\frac{p_o^2}{\tau^2}+p_0^2\omega^2+\frac{z_0^2}{\tau^2}}$$Vergleiche das mal mit Deinen Formeln. Wie verhält es sich nun mit der Wurzel, wie sieht die Funktion v(t) aus?

Ciao,

Thomas



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Lambda88
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-22


Nochmals vielen Dank für deine Hilfe MontyPythagoras.

Ich habe beim Ausklammern komplett die 2 beim Exponentialterm vergessen :-)

Wie du schon gezeigt hast, kann ich damit den Exponentialterm aus der Wurzel ziehen und da sich in der Wurzel kein Term befinde wo ein t auftaucht, kann ich die Wurzel vor das Integral ziehen. Muss somit nur den Exponentialterm integrieren und wenn ich nichts falsch gemacht habe, kommt der Ausdruck bei der Aufgabe c hinaus, juhu :-)








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MontyPythagoras
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2020-02-22


Hallo Lambda88,
prima, sieht gut aus.

Ciao,

Thomas



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Lambda88
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-22


Super :-)

Nochmals vielen Dank für deine Hilfe.



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