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nimabu
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-02-19


Hallo liebe Mathe Freunde,

ich habe wieder eine kleine Frage und zwar geht es um folgende Aufgabe:
Sei \(\mu \) das Zählmaß auf \((\mathbb{N},P(\mathbb{N})) \). Finden Sie eine absteigende Folge von Mengen mit \[\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{\mu (A_n)}\neq \mu(\cap A_n) \]. Ich hatte nun die Idee man könnte vielleicht sagen sei $A_1$ Eine Menge mit K Elementen und $A_n$ die Folge  für die gilt jedes Folgenglied hat $\frac{K}{n}$ (aufgerundet) Elemente. Dann wäre doch $\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{\mu (A_n)}=0$, aber da keine der Mengen leer ist kann der Schnitt auch nicht die leere Menge sein und somit gilt die Ungleichheit.
Kann man das so machen? Ich bin mir vorallem unsicher bei der Aussage dass das Maß des limes dann=Null wäre.

VG nimabu



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StrgAltEntf
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 19.01.2013
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Aus: Milchstraße
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-02-19


Hallo nimabu,

in deinem Beispiel liegt für \(n\geq K\) in jedem \(A_n\) genau 1 Element. Also ist \(\mu(A_n)\) keine Nullfolge.

Denke mal an unendliche Mengen!



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lukas93
Neu Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 19.02.2020
Mitteilungen: 3
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-02-19


Wir definieren
\[ A_n:=\mathbb{N}/\{1,2,3,...,n\}.\] Dann ist $(A_n)$ eine absteigende Folge von Mengen und es gilt
\[

\lim_{n\rightarrow\infty}\mu(A_n)=\lim_{n\rightarrow\infty}\infty=\infty.

\] Jedoch gilt auf der anderen Seite
\[
\mu(\bigcap A_n)=\mu(\emptyset)=0.
\] Grüße,
Lukas



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nimabu
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 11.02.2020
Mitteilungen: 6
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-20


Hallo lukas,

danke für die Antwort, aber müsste die Folge (1,2,3...,n) für n gegen unendlich nicht gleich $\mathbb{N}$ sein? Dementsprechend dann auch $\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{\mu (A_n)}=0$?



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-02-20


2020-02-20 17:31 - nimabu in Beitrag No. 3 schreibt:
müsste die Folge (1,2,3...,n) für n gegen unendlich nicht gleich $\mathbb{N}$ sein? Dementsprechend dann auch $\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{\mu (A_n)}=0$?

Ich verstehe deine Frage und deine Folgerung nicht. Und was hat die Folge (1, 2, 3, ..., n) mit lukas93s Beitrag zu tun?



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nimabu
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-21


Also die Folge $A_n$ die lukas93s definiert hat ist doch die Mengenfolge bei der man aus der Menge der natürlichen Zahlen die Menge (1,2,3,...,n) entfernt, oder? aber wenn die Folge (1,2,3...,n) für n gegen unendlich der Menge der natürlichen Zahlen entspricht, dann ist doch die Menge der Natürlichen Zahlen ohne die Menge der natürlichen Zahlen gleich der leeren Menge.
Hab ich hier vielleicht irgendetwas grundsätzliches falsch verstanden?



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2020-02-21


2020-02-21 16:45 - nimabu in Beitrag No. 5 schreibt:
Also die Folge $A_n$ die lukas93s definiert hat ist doch die Mengenfolge bei der man aus der Menge der natürlichen Zahlen die Menge (1,2,3,...,n) entfernt, oder? aber wenn die Folge (1,2,3...,n) für n gegen unendlich der Menge der natürlichen Zahlen entspricht, dann ist doch die Menge der Natürlichen Zahlen ohne die Menge der natürlichen Zahlen gleich der leeren Menge.
Hab ich hier vielleicht irgendetwas grundsätzliches falsch verstanden?

Das ist soweit richtig. Aber jedes einzelne \(A_n\) hat unendlich viele Elemente. Also gilt für jedes n, dass \(\mu(A_n)=\infty\). Und somit \(\lim_{n\rightarrow\infty}\mu(A_n)=\infty\)



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nimabu
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-21


2020-02-21 17:20 - StrgAltEntf in Beitrag No. 6 schreibt:

Das ist soweit richtig. Aber jedes einzelne \(A_n\) hat unendlich viele Elemente. Also gilt für jedes n, dass \(\mu(A_n)=\infty\). Und somit \(\lim_{n\rightarrow\infty}\mu(A_n)=\infty\)

okay, aber damit die rechte Seite der Gleichung also $\cap A_n=0$ stimmt muss doch eine der $A_n$ die leere Menge sein? Aber wenn jedes unendlich viele Elemente hat geht das doch nicht, oder?  😵
Also wenn jedes $A_n$ in $A_(n-1)$ enthalten ist dann ist der Schnitt über alle $A_n$ doch eigentlich das selbe wie der lim der $A_n$ für n gegen unendlich, aber das kann ja nicht stimmen, da man sonst die Aufgabe gar nicht lösen kann.



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2020-02-21


2020-02-21 18:14 - nimabu in Beitrag No. 7 schreibt:
okay, aber damit die rechte Seite der Gleichung also $\cap A_n=\emptyset$ stimmt muss doch eine der $A_n$ die leere Menge sein?

Nein, das bedeutet nur, dass es keine natürliche Zahl gibt, die in allen Mengen $A_n$ enthalten ist.



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