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Funktionenfolgen und -reihen » Konvergenz » Ein Grenzwert für Integrale mit dem "heat kernel"
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Universität/Hochschule Ein Grenzwert für Integrale mit dem "heat kernel"
Schokopudding
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-02-20


Hi!

Ich habe den "heat kernel"
<math>\displaystyle
K(x,t):=K_t(x):=\frac{1}{\sqrt{4\pi t}}e^{-\frac{\lvert x\rvert^2}{4t}}
</math>
und es seien <math>t\in [0,T], x\in\mathbb{R}</math>.

Ich würde gerne zeigen, dass
<math>\displaystyle
\lim_{h\to 0}\left(\int_\mathbb{R}\lvert K_{t+h}(x-y)-K_t(x-y)\rvert\, dy+\int_0^t\int_\mathbb{R}\lvert K_{t+h-s}(x-y)-K_{t-s}(x-y)\lvert\, dy\, ds+\int_t^{t+h}\int_\mathbb{R}\lvert K_{t+h-s}(x-y)\rvert\, dy\, ds\right)= 0.
</math>

Ich glaube, dass ich dafür am besten zeigen sollte, dass jeder der drei Summanden gegen <math>0</math> konvergiert, also

<math>\displaystyle
\textrm{(1)} \lim_{h\to 0}\int_\mathbb{R}\lvert K_{t+h}(x-y)-K_t(x-y)\rvert\, dy=0
</math>

<math>\displaystyle
\textrm{(2)} \lim_{h\to 0}\int_0^t\int_\mathbb{R}\lvert K_{t+h-s}(x-y)-K_{t-s}(x-y)\lvert\, dy\, ds=0
</math>

<math>\displaystyle
\textrm{(3)} \lim_{h\to 0}\int_t^{t+h}\int_\mathbb{R}\lvert K_{t+h-s}(x-y)\rvert\, dy\, ds=0
</math>


Kann ich für (1) und (2) den Satz von der majorisierten Konvergenz anwenden, d.h.

(1) betrachte die Funktionenfolge <math>(K_{t+h})</math>. Diese konvergiert für <math>h\to 0</math> gegen <math>K_t</math>. Außerdem ist <math>\lvert K_{t+h}\rvert\leq K_t</math> für jedes <math>h</math>. Darum kann ich den Satz anwenden und der sagt einem sofort, dass (1) gilt.

(2) hier würde ich zunächst mit Fubini-Tonelli argumentieren, dass man das Doppelintegral als ein Produktintegral schreiben kann. Und auf dieses würde ich wieder den Satz von der majorisierten Konvergenz anwenden auf die Folge <math>(K_{t+h-s})</math>.

(3) Hier kann man, glaube ich, direkt rechnen: Das innere Integral müsste meines Wissens <math>1</math> sein (eine Eigenschaft des "heat kernels") und das äußere Integral ist dann <math>h</math> und geht somit gegen 0 für <math>h\to 0</math>.



Kann mir jemand sagen, ob das Sinn macht oder ob ich Unsinn fabriziere?
Vielleicht ist das Ganze ja auch viel einfacher einzusehen...  😵



Vielen Dank!



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